게시판 > 질답게시판 > 열전달에서 view factor 적분문제 질문드립니다.

임홍재 hanwonclub2

12-11-14 09:19

제가 수학에 자신은 없지만;; 소견을 올려볼까 합니다.

우선 (1/A1)∫A2∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1dA2 식에서 내부항에 해당하는 ∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1 부분부터 적분을 들어가야한다고 생각됩니다.

∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1 은 A1에 대해 적분을 실행하란 뜻이므로 적분을 하게 되면 그 결과는...

1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C (적분상수) 로 나오게 됩니다.

위에서 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) 부분은 A1에 대해서 상수로 취급되는 부분이므로 적분항 바깥으로 그대로 나온 것이고,

부정적분 형식으로 식이 적혀있어서 적분상수를 달고 나와야합니다.

다음으로 A2에 대한 적분을 실행해야합니다.

즉, ∫A2∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1dA2 식에서....

∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1 = 1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C 의 형태로 나왔으므로.. 위의 식에 대입하면.

∫A2 {1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C} dA2 의 형태가 되고 이 식에서도 위와 마찬가지로 A2에 대해 적분을 실행하란 뜻이므로 1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C 부분은 상수부분으로 앞으로 빠져나오게 됩니다.

즉, {1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C}*∫A2 dA2 의 형태가 되고 이것을 계산하게 되면...

= {1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2} * (1/2*A2^2 + C) 의 형태가 될 것입니다. (적분상수는 한곳으로 보낼 수 있으므로 맨 뒷항으로 보냈습니다.)

최종적으로, F12 = (1/A1)∫A2∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1dA2 =(1/A1)*{1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2} *(1/2*A2^2 + C) 가 되고 맨앞의 A1항이 약분되면서...

F12 = {1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1}*(1/2*A2^2 + C) 가 됩니다.

제 설명에 틀린 부분이나 부족한 부분이 있으면 다시 코멘트 바랍니다!

제가 수학에 자신은 없지만;; 소견을 올려볼까 합니다.

우선 (1/A1)∫A2∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1dA2   식에서 내부항에 해당하는 ∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1 부분부터 적분을 들어가야한다고 생각됩니다.

∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1 은 A1에 대해 적분을 실행하란 뜻이므로 적분을 하게 되면 그 결과는...

1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C (적분상수) 로 나오게 됩니다.

위에서 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) 부분은 A1에 대해서 상수로 취급되는 부분이므로 적분항 바깥으로 그대로 나온 것이고,

부정적분 형식으로 식이 적혀있어서 적분상수를 달고 나와야합니다.

다음으로 A2에 대한 적분을 실행해야합니다.

즉, ∫A2∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1dA2 식에서....

∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1 = 1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C 의 형태로 나왔으므로.. 위의 식에 대입하면.

∫A2 {1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C} dA2 의 형태가 되고 이 식에서도 위와 마찬가지로 A2에 대해 적분을 실행하란 뜻이므로 1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C 부분은 상수부분으로 앞으로 빠져나오게 됩니다.

즉, {1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2 +C}*∫A2 dA2 의 형태가 되고 이것을 계산하게 되면...

= {1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2} * (1/2*A2^2 + C) 의 형태가 될 것입니다. (적분상수는 한곳으로 보낼 수 있으므로 맨 뒷항으로 보냈습니다.)

최종적으로, F12 = (1/A1)∫A2∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1dA2 =(1/A1)*{1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1^2} *(1/2*A2^2 + C) 가 되고 맨앞의 A1항이 약분되면서...

F12 = {1/2*(cosθ1cosθ2)/(πr^2)*A1}*(1/2*A2^2 + C) 가 됩니다.

제 설명에 틀린 부분이나 부족한 부분이 있으면 다시 코멘트 바랍니다!

스테파노 Stefano

12-11-14 20:22

(1) r, θ1 및 θ2가 A1 혹은 A2와 무관한 상수라고 하면 복잡한 설명이 필요없이 다음과 같은 간단한 수식이 됩니다. 그러나 이런 문제로 보이지는 않습니다. 또 유한요소들을 적분함에 있어 부정적분 풀이로 하라고 하지는 않겠지요.

(1/A1)∫A2∫A1 (cosθ1cosθ2)/(πr^2) dA1dA2
=(1/A1)(cosθ1cosθ2)/(πr^2)∫A2∫A1*dA1*dA2
={(1/A1)(cosθ1cosθ2)/(πr^2)}*{(1/2)A1^2+C1')}*{(1/2)A2^2+C2')}
={(1/A1)(cosθ1cosθ2)/(2πr^2)}*{A1^2+C1}*{A1^2+C2}; C1(=2C1'), C2(=2C2')는 적분상수

(2) View Factor의 계산은 일반적으로 대단히 복잡하기 때문에 도표를 이용해서 구하는 것이 용이합니다.
이곳에 좋은 예가 많습니다.
http://www.engr.uky.edu/rtl/Catalog/tablecon.html#C2

fftro fftro

12-11-14 21:31

임홍재님 스테파노님 조언 감사합니다 ㅎ