(1) 문제풀이에서 x(결정의양)와 y(잔류모액의 양)의 관계식으로 풀어도 되고 또 다른 방법으로 자유수라고 풀이하는 방법으로 풀어도 됩니다.
전자의 경우는 무수물의 농도로 용액을 나타내고 결정은 수화물로 나타냈기 때문에 x와 y 변수로 계산하므로 복잡한 듯 보이지만 풀이과정에서 혼돈이 없기 때문에 다른 생각할 겨를없이 푸는 방법이 됩니다.
질문에서 언급한 내용은 후자의 풀이방법에 해당하는데 용액이나 결정에서 용질의 양을 모두 수화물로 표시하여 계산한 방법에 해당합니다. 이 방법은 초등학교 5학년(?) 소금물 문제와 유사해 지기 때문에 두개의 변수로 계산하지 않아도 되는 장점이 있습니다. 전자의 풀이 방법은 이해하고 있을 것이므로 후자의 풀이 방법을 보충설명합니다.
(2) 무수물 농도를 수화물 농도로 표시하는 방법 (모든 %농도는 w%를 의미)
MgSO4 무수물 ("M"으로 표시) 농도로 30%라고 하는 경우에는 전체용액 중에 30%는 용질 M이 들어있고 나머지는 물("H"로 표시)에 해당합니다. 즉 100 kg의 용액 중에는 30 kg_M과 70 kg_H가 들어있습니다.
이를 MgSO4*7H2O ("MH"로 표시) 농도로 환산하기 위해서는 MgSO4 무수물의 분자량과 MgSO4*7H2O의 분자량이 필요하다는 것을 알 수 있지요. 이들 각각의 분자량은 [M]= 120.366 =약 120.4 [MH] = 246.47 = 약 246.5로 계산해 봅니다.
앞선 30% 용액에 들어있는 30 kg_M을 수화물 MH로 환산하려면 분자량의 비 즉 246.5/120.4 = 2.0473배를 해주면 됩니다. 따라서 문제의 30% M 용액 중에는 30kg의 M이 들어있지만 수화물 MH로 환산하면 30%*(246.5/120.4) =61.40%_MH가 되는 것이지요. 이 문제에서 주의해야 할 사항은 미리 증발된 수분의 양을 정확히 계산해 두는 일입니다.
(3) 수화물 농도로 표시하여 문제를 다시 정리해보면 다음과 같은 문제로 귀결됩니다. 즉
<61.4%_MH 용액 1000 kg을 농축하여 이중 수분35 kg(=700kg의 5%) 증발시켜 농축한 후 상온15도로 냉각하여 결정화 시킨 후 모액(Mother Liquid)의 농도를 재어 보니 24.5%*(246.5/120.4)=50.16%가 됨을 알았다. 결정으로 제거된 MH의 양은 얼마인가?>
<이 문제는 61.4 % 소금물 1000 kg을 끓여 물을 35 kg 제거하고 난 후, 그 용액을 상온으로 냉각하여 생기는 소금결정을 여>과기로 분리하고 남은 용액의 농도가 60.16%였다 결정화에 의해 얻어진 소금의 양은 얼마가 되는가 ?
"자유수"라고 표현한 것은 M 또는 MH로 나타낸 용질을 제외한 순수한 물을 나타낸 것이라고 간주하면 됩니다
첫번째 방법이라는게 위에 x,y로 푸신걸 의미하시는 건가요?
그런데 자유수 방법을 더하여 풀면, 제가 푼것과 다른 답이 나옵니다.
즉 답이 261kg 이 나와야 하는데 저는 614kg 으로 계산 된것입니다...
저기서 왜 351kg 을 빼어 261kg 이 나오는지 잘 모르겠습니다.
말해주신 것으로는 1000*0.614-(1000-35)*0.5016 으로 결정량을 구하는 것으로 이해가 되는데, 이렇게 해도 261이 아닌 더 작은 값이 나오게 됩니다... 제가 어디 잘못 이해한 것같은데 잘못된 부분이 어딘지 알 수 있을까요?
(0) 맞습니다. 첫번째 방법은 무수물과 수화물로 구분하여 MgSO4와 물의 물질수지를 기준으로 푸는 방법이고 두번째 방법은 무수물농도를 모두 수화물 물질로 대체하여 푸는 방법입니다. 그러나 두번째 방법은 <1000*0.614-(1000-35)*0.5016 >로 계산하는 것이 아니라 자유수 수지로부터 용액잔류 MH의 양을 계산하여 전체의 양 614 kg에서 빼줌으로서 MH결정의 양을 계산하는 방법이지요.
(1) 증발시키기 전 1000kg 중에 무수물(M)의 농도30%는 수화물(MH)의 농도로 61.4 %가 되므로 1000 kg중에 614 kg이 전체의 MH에 해당하는 셈이고 이중 얼마가 용액으로 남고, 얼마가 결정으로 석출되는가를 계산하면 됩니다.
(무수물M으로는 300 kg이고 MH 로는 614 kg이 초기 용액속에 들어있는데 이 전체의 양은 변함이 없고 순수 물로 계산한다면 700 kg의 순수물, 386 kg의 "자유수"도 변함이 없고 순수이건 자유수이건 35 kg은 날라갔다는 것을 고려하여 계산하면 됩니다. )
(2) 중간에 증발시킨 물의 양은 700kg 중에서 5%인 35 kg인데 이속에는 M이나 MH는 들어있지 않으므로 MH의 양에는 변함이 없이 614 kg이 System 내에 존재하는 것이고 이 양이 결정과 용액으로 나뉜다고 보고 계산하면 되지요. 614kg은 전체의 양이므로 이 값은 답이 아닙니다. 아래의 수식으로 계산해야 하여야 석출된 결정의 양이 계산되지요.
(전체의 MH량, 614 kg) - (무수물 농도 24.5%에 해당하는 용액중의 MH양) = (결정으로 석출된 MH)
(3) <(무수물 농도 24.5%에 해당하는 용액중의 MH양) >의 계산 방법도 24.5% as M * (246.5 as MH/120.4 as M) = 50.16 % as MH 로 계산하면 되잖아요.
여기서의 문제가 쉽게 풀리지 않는 이유는 M 혹은 MH 농도는 알지만 용액중의 MH의 절대량이 구해지지 않았다는 것인데 이를 어떻게 하면 구할수 있느냐가 이 문제의 핵심에 해당합니다. 용액의 농도는 주어져 있기 때문에 용액의 양을 알아내기만 하면 됩니다. 용액의 양을 계산하고자 한다면 용액중의 물(H) 또는 자유수(FW), 용액중의 M, 또는 MH의 양을 알면 그 해당성분의 농도로 나누면 구해집니다.
두가지 방법 모두 풀이해 보도록 하지요.
(4) 무수물 즉M의 농도로 계산한다면... (이 방법이 첫번째 방법입니다.)
M의 농도로 계산하면 24.5% 가 M이고 75.5%가 물입니다.
x=결정으로 석출된 MH 수화물의 양, y = 용액중 M
● M의 수지를 계산하면: (초기의 M은 1000*(0.3)) = (수화물 결정으로 얻어진 양, x as MH)*(120.4 as M/246.5 as MH) + (용액에 들어있는 M, y as M)......(a) <---각 항의 단위는 모두 M의 양으로 계산된 것임에 유의
● 전체의 양으로 물질수지를 계산하면: 1000 = 35 + x + y/(0.245) ..............(b) <---용질, 용매 미구분 전체의 양
이를 연립으로 풀어서 수화물로 얻어지는 x를 구하면 됩니다. (a)식에서 중간에 (120.4/246.5)를 계산한 것은 수화물 MH로 계산된 x중에 들어있는 무수물 M의 양으로 환산하기위해 사용된 것이고, (b)식은 전체량의 물질수식을 나타내는 수식이라서 마지 막항에서 사용한 < y/0.245>는 용액의 양이 되는데 이는 남아있는 용질의 양과 농도로부터 용액의 전체량을 계산하는 방법이 사용된 것입니다. 즉 <(용액의 양)*(0.245) = (순수 M의 양, 즉 y)>으로부터 용액의 양을 계산한 것이지요.
(5) 이번에는 MH의 농도로 계산해 봅니다... (두번째, 즉 결정수에 들어있는 물을 제외하고 남는 물을 "자유수(Free Water)"로 나타내어 푸는 방법입니다. )
초기의 MH 농도 = 61.4% 초기의 MH의 양 = 614 kg as MH; 초기의 자유수 = 386 kg as FW
X= 석출된 MH의 양, Y = 용액중 MH의 양
● MH 물질수지: 614 kg_MH = X + Y .................................(c) <-- 각항 모두 MH의 양으로 나타낸 것임에 유의
● 전체의 물질 수지: (전체의 양 1000) = (증발된 물, 혹은 자유수, 35) + (결정 MH, X) + (용액 전체량; Y/(0.5016))..................(d) <---용질MH나 자유수를 구분하지 않은 전체의 양
여기서도 용액의 전체량은 용질의 양 Y를 농도로 나누어 계산한 것이지요. (d)식과 같은 전체의 물질수지 대신, 자유수만의 물질수지식을 사용해도 됩니다. 이를 사용하면 연립으로 풀지 않아도 됩니다. 이를 수식으로 나타내면
● 초기 자유수 (1000-614) = 35 + (Y/0.5016) * (1-0.5016) .........(e) <--각 항의 단위는 모두 FW(자유수)의 양
위의 (e)식의 마지막 항의 앞부분 즉 <Y/ 0.5016)>은 용질 MH의 양을 MH의 농도50.16%로 나누어 용액 전체를 구하는 방법이고 여기에다 다시 물의 농도(=100%-50.16%)에 해당하는 비율 (1-0.5016)즉 0.4984 곱하여 물의 양을 계산한 것입니다.
두번째 방법은 바로 (e)식에 의하여 용액에 남아있는 MH를 구한 것 즉 Y를 먼저 하고나서 이를 (c)식에 대입해서 X를 구한 것입니다.
이들 두 방법에서 x = X이고 모두 수화물의 양을 계산한 것이지요. 두방법 모두 x = X 의 결과를 얻겠지요.
x =259.49/0.9935..=261. X = 614-353=261
;){kind=link}