(1) Mass Balance
계산에서 (N+G-v) = M 이라고 쓰고 있는데 이는 우선 "단위"가 맞지 않습니다.
N과 G 는 kg-mole/h 단위이고, v는 m3/h의 단위이고 M은 kg-mole입니다.
단위가 맞지 않는 계산은 물리적으로 의미가 없는 계산이 될 수 밖에 없습니다.
따라서 이를 아래의 식과 같이 kg-mole 로 고쳐야 단위가 통일된 식이 됩니다.
(Ndt)+(Gdt)-(n dt) = (dM)............................(4) .....이 수식의 단위는 kg-mole입니다.
(N+G-n) dt = dM...........................................(4a) ...이 수식의 단위는 kg-mole입니다.
만일 kg-mole/h 단위로 나타내고 싶은 경우 (아마 이렇게 나타내는 경우가 더 많습니다.)
N+G-n = dM/dt..............................................(4b)...이 수식의 단위는 kg-mole/h입니다.
이 식은 (4a)의 양변을 dt로 나눈 값이지요. (4), (4a), (4b)는 모두 같은 식이지만 단위는 다를 수 있습니다.
(2) Pi 와 P ?
Pi가 P와 다르다면 이를 P의 함수로 나타내거나 시간의 함수로 나타내거나 해야 할 것이나 설명한 것이 없으며, 상수인지 변수인지도 설명이 없습니다. Pi=P로 두면 되지 않나요? 아니면 Pi= P + C로 하든가
[ N+G-dPi(v/RT)] dt = (V/RT)dP 로 나타낸 식은 맞지 않습니다.
따라서 설명한대로 아래의 수식으로 되어야 합니다.
[ N+G-P(v/RT)] dt = (V/RT)dP........................(6)
이 미분방정식은 변수분리형이므로 다음과 같이 고친다음 적분해야 합니다.
(RT/V)dt =dP /[ N+G-P(v/RT)]
(RT/V)∫dt =∫dP/[ N+G-P(v/RT)]가 되괴 이런 형식은 적분식 ∫dx/(a-bx) = (-1/b)ln(a-bx)를 사용해야합니다.
(Q1) <Pi 는 ejector suction nozzle에서의 압력입니다. 이 압력이 달라지면 suction volume(v)도 달라집니다.
--> vacuum source (ejector) 의 performance 라고 표현했습니다. >
(A1) Ejector Suction 압력 Pi 는 용기내 압 P와 같다고 하던가 서로 관련이 있을 것으로 P의 함수로 나타낼 수 있어야 합니다 예를 들어 용기와 Ejector사이의 압력차(ΔP)를 고려해서 Pi=P-ΔP 와 같이 나타내면 될 수 있는데 진공관 내의 압력손손실을 무시해서 P=Pi라고 하면 될 것이라는 의미입니다.
(Q2) <(2) P 는 용기내 압력입니다.
--> 일정압력에 도달하기 까지는 시간에 따라 dP (P-Pi)가 존재한다 생각했었습니다. >
(A2) P와 Pi가 다른 변수라고 하면 변수가 t, P, Pi 와 같이 세개가 되기 때분에 적분이 아주 복잡해집니다.
따라서 (A1)에서 설명한 바와 같이 Pi=P-ΔP 로 한다고 하면 되지만 (6)식의 좌변에 있는 압력항은 P 또는 Pi가 되어야 하지 dPi가 되어서는 안됩니다.
유도과정을 잘 살펴보세요. 진공장치로 배출되는 부피로부터 이를 kg-mole단위로 환산할 때 압력 P가 필요한 것이지 dP가 필요한 것이 아닙니다.
(Q3) <따라서, 시간에 따라 변하는 것은 v, P, Pi 세가지로 보았었습니다. 이런 경우에도 (6)식으로 쓸 수 있습니까?>
(A3) 변수 P, Pi 에 대해서는 (A2)에서 설명했고, 만일 v(=진공배출부피유량)가 시간의 함수라면 v=f(t)로 나타낸 다음 미분방정식을 풀어야 할 것입니다. 진공배출부피유량이 달라진다는 의미는 진공펌프에 속도조절기를 달아두고 시간에 따라 달라지도록 한다는 의미가 되는데 진공펌프를 이렇게 사용하는 경우는 거의 없습니다.
염려되는 것이 "진공도에 따라 배출되는 가스의 양이 달라질 것" 일 터인데 물론 달라지지만 몰유량이 달라지는 것이고 부피유량은 상수라고 보면 됩니다. 첫 질문에서 v 는 상수값으로 주어져 있었습니다. 확인해 보세요.
이는 이미 앞선 답글에서 설명한 바와 같이 v를 kg-mole/h 단위로 고쳐주기 위해 n을 구한것입니다. 다음과 같이 환산한 것입니다.
P v = n R T => n = Pv/RT
여기서 n의 의미는 용기내 압력이 P, 온도가 P이고 진공펌프로 v m3/h로 부피를 뽑아낼 때 진공장치로 배출되는 몰 유량을 말합니다. P가 시간에 따라 변하고 있기 때문에 n값도 시간에 따라 달라집니다.
따라서 새로운 변수 n을 변수P로 나타낸 것이 바로 n = Pv/RT 가 됩니다. 이 식에는 dP가 사용되어서는 안되지요
[ N+G-dPi(v/RT)] dt = (V/RT)dP 라고 쓴 것은 전혀 맞지 않습니다. 그러므로 (6)식과 같이 써야 합니다.
설령 Pi이 시간에 따라 달라진다고 하더라도 Pi=f(t)로 나타냄으로써 Pi를 t로 나타내 주거나 Pi를 P의 함수로 나타내든가, 아니면 Pi = g(t, P)와 같이 2개의 변수로 나타내야 합니다. 그러나 이렇게 고쳐놓고 보면 적분이 아주 아주 어려워 집니다.
식이 약간만 복잡해져도 대수적으로는 적분이 불가능한 경우가 많습니다. 이런 경우에는 수치적분으로 밖에 할 수 없습니다. 알려진 많은 미분방정식은 대수적으로 풀수 있고 약간의 아니면 고차원적 기교를 부려서 대수적으로 풀 수 있고 그런 기교들은 모두 이를 개발한 사람의 이름이 붙어있습니다. 그러나 알려지지 않은 미분방정식이 아니고는 대수적으로 풀 수가 없습니다.
