게시판 > 질답게시판 > Polytropic 과정에서의 Entropy 변화 유도과정 질문입니다.

스테파노 Stefano

22-10-06 00:05

(0) 질문에서 맨 첫 수식은 열역학제1법칙에 해당하는 열수지를 나타내는 수식인데 이수식을 글로 나타내면..
"어느 시스템(계)의 내부에너지 (미분)증가는 가열한 (미분)열량에다 (외부에서 시스템에 가해진 미분) 일량을 더한 값이다." 가 됩니다. dU = dQ + dW .....(0) <---계 외부에서 계 내로 Work를 가하는 경우 (+)W 적용

그런데 이 수식에서 Work의 방향은 외부에서 System에 일이 가해질때 (+)값이고 그 반대방향이면 (-)값이라고 적용하고 있습니다. 통상적으로는 계에서 외부에 일을 하는 경우 (+)값이되도록 사용합니다.

dU = dQ -dW .............................(1) <---계 내부에서 계 외부로 Work를 발생시키는 경우 (+)W 적용

(1) 질문에서 언급하고 있는 "Constant Volume Specific Heat 적용" 이라는 것은 System의 변화가 Constant Volume 상태에서 일어나고 있다는 뜻이 아닙니다. Constant Volume 속성은 아래의 수식에서만 적용된 것입니다.

즉 dU=CvdT ......(1) <- 이수식은 (다른 속성은 잘 모르겠지만...) 내부에너지 변화는 Constant Volume에서 온도변화에 비례한다는 뜻입니다. 즉 부피(혹은 밀도), 압력 등의 변화가 없을 때 내부에너지 변동은 정용비열에 온도변화값을 곱한값 그 이상의 미는 없습니다.

(2) 질문에서

CvdT = TdS - PdV ...........................(2) <--- 이 수식에서 P, V값는 음수값을 적용할 수 없기때분에 Work의 부호는 (1)식에 적용한 방법을 사용하고 있습니니다.

이수식에서 CvdT는 내부에너지의 변화값을 말하는데 내부에너지 변화는 부피가 변하지 않을 때 온도변화값을 곱하여 구해질 수 있다는 것을 의미하고 이 값은 계에 가한 열량에서 계 외부에 Work를 발생했을 때의 일을 뺀 값으로 계산할 수 있다는 것을 나타내는 수식입니다. 실제로 부피변화가 없다면 dV값이 0이 되겠지만 여기서는 열량공급과 일생산이 함께 이루어지고 있다는 것을 암시하고 있습니다.

(3) 질문에서 <.. dS = Cv/T dT + 1/V dV ..>로 적고있는데 식에서 1/V는 오류입니다. 1 mole의 이상기체라면 PV=RT의 관계가 있으므로 R/V가 되어야 합니다. 오타로 보입니다.

따라서 dS = Cv/T dT + R/V dV ...................................................(3)
이의 적분수식은 △S = Cv Ln(T2/T1) + R Ln (V2/V1) ..................(4) 가 되어야 합니다.

(4) 참고로... 만일 위의 과정이 Polytropic 과정인 경우라면 P*V^n = Constant ......................(5)의 관계가 성립합니다. 적분식에 대입하여 Gas Compressor에서 Polytropic 동력을 구하는 수식을 유도해 내는데 이용됩니다.

그런데 이 수식에서 Work의 방향은 외부에서 System에 일이 가해질때 (+)값이고 그 반대방향이면 (-)값이라고 적용하고 있습니다.   통상적으로는 계에서 외부에 일을 하는 경우 (+)값이되도록 사용합니다.

dU = dQ -dW   .............................(1)     <---계 내부에서  계 외부로 Work를  발생시키는 경우 (+)W 적용

(1) 질문에서 언급하고 있는  "Constant Volume Specific Heat 적용" 이라는 것은  System의 변화가 Constant Volume 상태에서 일어나고 있다는 뜻이 아닙니다.   Constant Volume 속성은 아래의 수식에서만 적용된 것입니다.

즉   dU=CvdT ......(1)   <-  이수식은  (다른 속성은 잘 모르겠지만...) 내부에너지 변화는 Constant Volume에서 온도변화에 비례한다는 뜻입니다.   즉   부피(혹은 밀도), 압력 등의 변화가 없을 때 내부에너지 변동은  정용비열에 온도변화값을 곱한값 그 이상의 미는 없습니다.

(2) 질문에서

CvdT = TdS - PdV    ...........................(2)  <--- 이 수식에서 P, V값는 음수값을 적용할 수 없기때분에 Work의 부호는 (1)식에 적용한 방법을 사용하고 있습니니다.

이수식에서 CvdT는 내부에너지의 변화값을 말하는데 내부에너지 변화는 부피가 변하지 않을 때 온도변화값을 곱하여 구해질 수 있다는 것을 의미하고  이 값은 계에 가한 열량에서 계 외부에 Work를 발생했을 때의  일을 뺀 값으로 계산할 수  있다는 것을 나타내는 수식입니다.    실제로 부피변화가 없다면 dV값이 0이 되겠지만  여기서는 열량공급과 일생산이 함께 이루어지고 있다는 것을 암시하고 있습니다.

(3) 질문에서 <.. dS = Cv/T dT + 1/V dV ..>로 적고있는데   식에서 1/V는 오류입니다.   1 mole의 이상기체라면    PV=RT의 관계가 있으므로  R/V가 되어야 합니다.   오타로 보입니다.

따라서  dS = Cv/T dT + R/V dV  ...................................................(3)
이의 적분수식은   △S = Cv Ln(T2/T1) + R Ln (V2/V1) ..................(4) 가 되어야 합니다.

(4) 참고로...  만일 위의 과정이 Polytropic 과정인 경우라면    P*V^n = Constant ......................(5)의 관계가 성립합니다. 적분식에 대입하여 Gas Compressor에서 Polytropic 동력을 구하는 수식을 유도해 내는데 이용됩니다.

코끼리 tnstjssla

22-10-06 07:15

먼저 늦은 시간임에도 답변 달아주셔서 감사드립니다.. 매번 많은 도움 받고 있습니다.

(1) 이 부분이 가장 이해하기 어려웠습니다. 계(System)이 일정부피라고 가정하여 Cv 를 적용했는데 Polytropic 과정이므로
정용과정이 될 수 없었거든요.. 여기가 해결이 안되니 다음 과정으로 진행할 수가 없었습니다.
단순히 내부에너지 (U) 는 정용비열의 온도차에 비례한다라고 생각하니 이해가 훨씬 수월합니다. 마찬가지로 엔탈피 (H) 또한 정압비열의 온도차에 비례한다고 생각하면 동일하겠지요?
Process 자체가 꼭 정압, 정용 과정이 아니어도 Cv, Cp를 적용할 수 있다는 것을 새로 알게 되었습니다.

(2) 계에서 부피변화가 있고 열 출입이 있는 경우 내부에너지는 Cv 를 적용한다고 해서 정용과정이 아니라는 것이 포인트군요
Cv 의 온도변화에 비례한다는 것..

(3) 감사합니다. 말씀해주신대로 기체상수를 깜빡했네요

(4) 그러지 않아도 현재 부서 내에서 운전 중인 Gas Turbine 과 관련되어 공부 중에 있었습니다. 덕분에 많은 도움이 됐습니다
감사합니다.

Stefano

22-10-06 14:16

(추가답글)
<..Process 자체가 꼭 정압, 정용 과정이 아니어도 Cv, Cp를 적용할 수 있다는 것을 새로 알게 되었습니다...>
의 답글내용을 보면 의미가 잘못 전달된 것 같습니다. 보충하여 설명하면 다음과 같습니다.

정용, 혹은 정압 과정이 아닌데 Cv, Cp를 적용할 수 있다는 것이 아니고, 정용변화에서는 정용비열이라는 매개변수를 이용하여 계산해 낼 수 있는 상태함수 변화 (여기서는 내부에너지 변화), 정압과정에서는 정압비열이라는 매개변수를 이용하여 계산해 낼 수 있는 상태함수 변화(여기서는 엔탈피 변화)가 있다는 것을 의미합니다. (참고로... 상변화가 동반된 엔탈피 변화는 실제로는 단순 정압비열만으로 계산해 낼 수 없이 더 복잡한 수식으로 계산이 되어야 합니다. )

(*예를들어 ΔH = ΔU + ΔPV .........(6) <--- 이 수식의 의미는 엔탈피 변화는 내부에너지 변화와 외부에너지 변화값으로 계산) 된다는 것을 의미 이중 내부에너지는 정용비열과 온도변화로 계산할 수 있는데 이 값으로만 계산되는 것이 아니고 압력과 부피 곱의 변화값을 포함시켜 보정해 주어야 함을 의미합니다. ==> dH=dU +d(PV) ={TdS -PdV}+{PdV +VdP}={TdS+VdP} )

(*또 다른 예로.. 이상기체의 경우, Cv + R = Cp로 환산이 가능하다는 의미는 정압비열은 정용비열에 R값을 보정해서 구할 수 있는데...이를두고 정용과정이나 정압과정 어느 하나로 임의로 계산이 가능하다는 것을 뜻하는 것이 아님과 같습니다.)