(1) x,y,t,u로 된 연립미분방정식으로부터 y(=x2)와 x(=x1)만의 미분방정식으로 만들어 y를 x의 함수로 나타내라는 문제인 듯한데 풀이과정에서는 x1, dx1/dt를 소거하다 만 것으로 되어있습니다. 맨 밑에서 7째 줄에서 밑에서 6째 줄로 바뀔때 계산도 계수에 착오가 있는 것 같고..
필자도 문제 이해가 되지 않습니다.
만일 x와 y의 결과식이 y'' + 4 y' + 8y =0 과 같은 경우라면 특성(보조)방정식 D^2+4D+8=0의 두근 a, b로부터
y = C1e^(ax) + C2 e^(bx) 의 해를 얻을 수 있습니다. 미분방정식 관련 교재를 참조하세요.
(2) 두번째 질문은 단순히 2차방정식의 근의 공식을 이용하여 수식으로 옮겨놓고 √(-1) =i로 나타낸 것 뿐입니다. 중학교 수학에다 허수만 더 사용한 것 뿐입니다.
미지수x로 된 방정식의 근이 a, b, ...이라고 하면 그 방정식은 (x-a)(x-b)....=0 으로 나타낼 수 있습니다. 만일 2차방정식이라고 하면 두개의 근이 있을 것이고 이로부터 원래의 방정식은 (x-a)(x-b)=0가 될 것입니다.
x^2+4x+8 =0의 두개의 근은 a = - 2 + √ (-4) = -(2+2i)와 b = - 2 - √ (-4) = -(2-2i) 가 되므로 이 식을 이용해서 원래의 방정식을 (x-a)(x-b)=0 과 같이 인수분해된 형태의 방정식으로 나타내고 여기에 a,b를 넣어주면 되지요.
(x+2+2i)(x+2-2i)=0
*참고: ax^2+bx+c=0 의 해는 {-b +/- (b^2-4ac)^(1/2)}/(2a) 이고 ax^2+2b'x+c=0의 해는 {-b' +/- (b'^2-ac)^(1/2)}/(a) 따라서 x^2+4x+8 =0의 해는 -2 +/1 √(2^2-(1*8)) = -2 +/1 2√ (-1) = -2+/1 2i
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