게시판 > 질답게시판 > drying 에서 falling rate period 계산문제 질문입니다.

스테파노 Stefano

13-04-27 22:58

(1) Falling Rate Drying 상태로 도입되는 시점에서의 습도가 바로 Critical Moisture Content가 맞는데 Constant Rate Drying 상태가 얼마나 지속되었는지 알 수 없기 때문에 여기서는 Xc=0.38 에서부터 X=0.04에 도달할 때까지의 소요시간을 구하면 될 것입니다.

(2) 건조속도 R을 나타내는 수식에서의 단위는 kg-H2O/h-m^2 단위로 주어져 있어서 단위면적당 물증발속도로 나탸내야 합니다. dX/R에서 R에 0.5X를 대입하는 것은 무의미한 일이고 방정식이 성립되지도 않지요.

단위면적당 수분 증발속도, R = - (Ls/A)*dX/dt = 0.5 X ----(1)

(-Ls*dX/dt 만은 "kg/h" 단위의 수분증발속도이고 이를 단위면적당 수분증발속도로 나타내려면 (1)식처럼 건조면적 A로 나누어 표시해야 하겠지요.)

(3) 위의 (1)식을 변형하여 X = Xc ~ X, t = 0~t 까지 정적분해서 나타낸 수식에 질문에서 주어진 A, Ls 등을 대입해서 t 를 구하여 답글로 나타내 보세요.

-∫dX/X =∫(0.5A/Ls) dt --> -ln (X/Xc) =(0.5 A/Ls) t ..................(2)

Dreaming darkrain2002

13-04-27 23:14

t=2(Ls/A)ln(0.38/0.04) = 96.83h 가 나오네요

그런데 전 정말 궁금한게

R=0.5X 그래프는 원점을 지나 (Rc,Xc) 를 지나야 하는거 아닌가요?

Rc 를 왜 준것인지 모르겠습니다.

문제가 잘못된게 없는건가요??

알려주세용 ㅜㅜ

스테파노 Stefano

13-04-28 14:13

(1) 단위와 값을 제대로 넣었다면 맞는 계산일 것입니다.

(2) 직교좌표로 (X,R) 그래프를 그리면 R=0.5X는 원점과 (Xc, Rc)를 지나는 것은 아주아주 명백합니다.
원점을 지난다는 이야기는 X=0일 때 R=0이라는 것이고. X≥Xc 인 구간에서는 R = 상수이고 0~Xc 구간에서는 R=0.5X인 원점을 지나고 기울기 0.5 (단위는 R/X 단위와 같음)인 직선이 됩니다. 이 직선은 Xc에서 꺾여서 수평직선으로 이어집니다.

(**참고로.. 그래프에서의 건조 과정은 초기 Wet Solid 수분농도 Xo부터 시작하여 왼쪽으로 수평선을 따라 움직이면서 R값이 일정하게 유지되다가 Xc에 이르러 R이 직선기울기를 가지는 Slope를 따라 점점 떨어지기 시작하여 X=0에 도달하면 R=0이 됩니다. 그러나 실제의 건고곡선을 그려보면 갑자기 항율건조에서 감율건조공정으로 급격 변화되는 일은 일어나지 않습니다. )

(X-R)그래프 에서는 좌표에 시간축이 나타나지 않기 때문에 시간과 관계없는 그래프입니다. 시간에 따른 습도를 그래프로 그려보려면 (t-X) 도표를 그려봐야 합니다. 이를 그려보려면 앞선 답글에서의 (2)식을 그래프로 그려보면 됩니다. 완전터득하고 싶다면 직접 엑셀을 사용하여 t 를 0, 1, 2 ...시간단위로 나누어 X를 계산해 표로 나타낸 후 상관계도표로 그려보세요. Exponential Graph가 얻어질 것입니다

(3) 고체 증발시 수분농도가 높은 경우에는 가열속도에 비례하여 열이 전달되고 즉시 수분이 증발하기 때문에 증발수분이 배출되는 속도는 거의 열전달 (즉 전열면적, 온도차, 열전달계수)에만 관련되지만 어느정도 수분이 날아나고 나서 "어떤 습도"에 도달하고 나면 그 후로는 고체의 열전달과 고체 내부의 수분이 표면으로 확산되어 가는 물질전달 현상이 복합적으로 나타나 수분증발속도는 점점 줄어들게 됩니다.

그 "어떤 습도"가 바로 Xc이고 이때의 증발속도가 바로 Rc 입니다. "건조속도가 감소하기 시작했을 때의 X" 이 말이 바로 Xc를 의미한다는 것은 그렇게 용어가 정의되었기 때문에 명확하지요. Xc 에서의 Rc는 (1)식으로 X-R 도표의 직선 끝이 되는데 X값이 Xc보다 크면 R = 상수 = Rc가 되어 즉 수평선이 달리는 R값이므로 그래프 그릴 때 아주 중요한 정보가 됩니다.

문제에서 Xc만 주면 될 것을 왜 Rc도 주었는지 이유는 필자도 알수 없지만 엉뚱한 데이터를 줘 놓고 제대로 알고 풀고 있는가를 알아보려는 출제자의 심술로 보입니다. (의사가 환자에게 僞藥을 처방해 주고나서 보내놓고는 낄낄대는 모습이 갑자기 연상됩니다.)

(4) 종합해서 정리하면..
Xc를 감율구간건고 Rate 수식에서 구하려면 (1)식을 부정적분해서 얻어진 (t-X) 관계식을 구하여 Xc점에서의 dX/dt Slope (접선의 기울기 X'(t), 음수값)를 구하고 여기에 (-Ls/A)를 곱하면 Rc가 구해야 합니다. R= 0.5 X의 수식에서 Xc를 구해도 됩니다.

R = - (Ls/A)*dX/dt = 0.5 X ----(1) Rc = 0.5 (Xc) = 1.5; Xc = 3 kg-H2O/kg-Dry Solid
-ln (X/Xc) =(0.5 A/Ls) t ----(2) X=Xc at t=0, Falling Rate Drying의 초기(t=0) Xc로부터 X에 도달할 때까지의 X와 t의 관계식
t = (2Ls/A)*ln(Xc/X) ----(2a) X에 도달하는 시간을 계산하는 수식; 만일 이 구간에서 X1~X2 까지의 소요시간을 구하려면 (1)식을 X1~X2 구간에서 적분해서 Δt (= t2-t1)를 구하면 됩니다.
X = Xc*exp{(-0.5A/Ls)*t} ----(2b) Falling Rate Drying 건조 t 시간후에서의 습도를 구하는 수식 (Constant Rate Drying 건조 시간은 포함되어 있지 않음)

X≥Xc 인 구간에서는 (2)식이 필요없고 다음 수식을 사용해야 합니다. Xc도달 이전의 시간은 θ를 사용하면..
R = Rc = - (Ls/A)*dX/dθ = 1.5 ----(3) 항율건조 (Constant Rate Drying)미분식, dX/dθ = 습도 변화율(Slope) = 상수
X = Xo - (1.5*Ls/A) θ ----(4) 항율건조시 θ-X 관계식, 건조착수시기 (θ=0)에서 Xo 이고 X=Xc도달시에는 수식적용 안되므로 (2b) 수식을 사용해야 함.

건조초기 Wettability (Dry Basis Moisture Content, kg-moisture/kg-dry Solid) Xo에서 최종 Xf (Xf ≤Xc) 도달시까지의 건조소요시간을 구하려면 Xo~Xc 구간에서는 (4)식을 이용해서 θ를 구하고 Xc~Xf 구간에서의 건조소요시간 t를 (2a) 수식을 이용해서 각각 구해서 전체소요시간 θ + t를 구하면 됩니다.

(5) 결론적으로 .. Rc는 (3)식으로 준 것인데 이 수식과 (1)식과는 (Xc, Rc)에서 만나고 항율건조 종료시각이 감율건조 시작시간과 같은 점이 됩니다. (즉, (3),(4)식은 X≥Xc 구간에서 유효하고 (1),(2,2a,2b)식은 X≤Xc 구간에서 유효한데 X=Xc에서 두 수식이 모두 유효하다는 이야기이므로 만일 (3),(4)식과 (1),(2,2a,2b)식을 하나의 시간영역(Τ)에 나타내면 Τc에서의 R은 동일값 Rc를 나타냅니다. 결국 Rc를 주었다고 해서 문제가 잘못된 것은 아닙니다.

(1) 단위와 값을 제대로 넣었다면 맞는 계산일 것입니다.

(2) 직교좌표로 (X,R) 그래프를 그리면 R=0.5X는  원점과 (Xc, Rc)를 지나는 것은 아주아주 명백합니다. 
원점을 지난다는 이야기는 X=0일 때 R=0이라는 것이고.  X≥Xc 인 구간에서는 R = 상수이고  0~Xc 구간에서는 R=0.5X인 원점을 지나고 기울기 0.5 (단위는 R/X 단위와 같음)인 직선이 됩니다.  이 직선은   Xc에서 꺾여서 수평직선으로 이어집니다.

(**참고로.. 그래프에서의 건조 과정은 초기 Wet Solid 수분농도 Xo부터 시작하여 왼쪽으로 수평선을 따라 움직이면서 R값이 일정하게 유지되다가 Xc에 이르러 R이 직선기울기를 가지는 Slope를 따라 점점 떨어지기 시작하여 X=0에 도달하면 R=0이 됩니다.  그러나 실제의 건고곡선을 그려보면 갑자기 항율건조에서 감율건조공정으로 급격 변화되는 일은 일어나지 않습니다. )

(X-R)그래프 에서는 좌표에 시간축이 나타나지 않기 때문에 시간과 관계없는 그래프입니다.  시간에 따른 습도를 그래프로 그려보려면 (t-X) 도표를 그려봐야 합니다.  이를 그려보려면 앞선 답글에서의 (2)식을 그래프로 그려보면 됩니다.  완전터득하고 싶다면 직접 엑셀을 사용하여 t 를 0,  1,  2 ...시간단위로 나누어 X를 계산해 표로 나타낸 후  상관계도표로 그려보세요.   Exponential Graph가 얻어질 것입니다

(3) 고체 증발시 수분농도가 높은 경우에는 가열속도에 비례하여 열이 전달되고 즉시 수분이 증발하기 때문에 증발수분이 배출되는 속도는 거의 열전달 (즉 전열면적, 온도차, 열전달계수)에만 관련되지만 어느정도 수분이 날아나고 나서 "어떤 습도"에 도달하고 나면 그 후로는 고체의 열전달과 고체 내부의 수분이 표면으로 확산되어 가는 물질전달 현상이 복합적으로 나타나 수분증발속도는 점점 줄어들게 됩니다.

그 "어떤 습도"가 바로  Xc이고 이때의 증발속도가 바로 Rc 입니다.  "건조속도가 감소하기 시작했을 때의 X" 이 말이 바로 Xc를 의미한다는 것은 그렇게 용어가 정의되었기 때문에 명확하지요.  Xc 에서의 Rc는 (1)식으로 X-R 도표의 직선 끝이 되는데 X값이 Xc보다 크면  R =  상수 = Rc가 되어  즉 수평선이 달리는 R값이므로 그래프 그릴 때 아주 중요한 정보가 됩니다.

문제에서 Xc만 주면 될 것을 왜 Rc도 주었는지 이유는 필자도 알수 없지만 엉뚱한 데이터를 줘 놓고 제대로 알고 풀고 있는가를 알아보려는 출제자의 심술로 보입니다.  (의사가 환자에게 僞藥을 처방해 주고나서 보내놓고는 낄낄대는 모습이 갑자기 연상됩니다.)

(4) 종합해서 정리하면..
Xc를 감율구간건고 Rate 수식에서 구하려면 (1)식을 부정적분해서 얻어진 (t-X) 관계식을 구하여 Xc점에서의 dX/dt Slope (접선의 기울기 X'(t), 음수값)를 구하고 여기에 (-Ls/A)를 곱하면 Rc가 구해야 합니다.    R= 0.5 X의 수식에서 Xc를 구해도 됩니다.

R  =  - (Ls/A)*dX/dt  =  0.5 X    ----(1)    Rc = 0.5 (Xc) = 1.5;    Xc = 3  kg-H2O/kg-Dry Solid      
-ln (X/Xc) =(0.5 A/Ls) t             ----(2)    X=Xc at t=0,   Falling Rate Drying의 초기(t=0) Xc로부터 X에 도달할 때까지의 X와 t의 관계식
t = (2Ls/A)*ln(Xc/X)                 ----(2a)  X에 도달하는 시간을 계산하는 수식;  만일 이 구간에서 X1~X2 까지의 소요시간을 구하려면 (1)식을 X1~X2 구간에서 적분해서  Δt (= t2-t1)를 구하면 됩니다.   
X = Xc*exp{(-0.5A/Ls)*t}         ----(2b)  Falling Rate Drying 건조 t 시간후에서의 습도를 구하는 수식 (Constant Rate Drying 건조 시간은 포함되어 있지 않음)

X≥Xc 인 구간에서는 (2)식이 필요없고 다음 수식을 사용해야 합니다.  Xc도달 이전의 시간은 θ를 사용하면.. 
R = Rc = - (Ls/A)*dX/dθ = 1.5  ----(3)  항율건조 (Constant Rate Drying)미분식,  dX/dθ = 습도 변화율(Slope) = 상수  
X = Xo - (1.5*Ls/A) θ                ----(4)  항율건조시 θ-X 관계식,  건조착수시기 (θ=0)에서 Xo 이고 X=Xc도달시에는 수식적용 안되므로 (2b) 수식을 사용해야 함.

건조초기 Wettability (Dry Basis Moisture Content,  kg-moisture/kg-dry Solid) Xo에서 최종 Xf (Xf ≤Xc) 도달시까지의 건조소요시간을 구하려면 Xo~Xc 구간에서는 (4)식을 이용해서   θ를 구하고  Xc~Xf 구간에서의 건조소요시간  t를 (2a) 수식을 이용해서 각각 구해서 전체소요시간  θ + t를 구하면 됩니다.

(5) 결론적으로 .. Rc는 (3)식으로 준 것인데 이 수식과 (1)식과는 (Xc, Rc)에서 만나고 항율건조 종료시각이 감율건조 시작시간과 같은 점이 됩니다.  (즉, (3),(4)식은 X≥Xc 구간에서 유효하고 (1),(2,2a,2b)식은 X≤Xc 구간에서 유효한데  X=Xc에서 두 수식이 모두 유효하다는 이야기이므로 만일 (3),(4)식과 (1),(2,2a,2b)식을 하나의 시간영역(Τ)에 나타내면  Τc에서의 R은 동일값 Rc를 나타냅니다.   결국 Rc를 주었다고 해서 문제가 잘못된 것은 아닙니다.

Dreaming darkrain2002

13-04-30 02:16

자세한설명 감사합니다, 스테파노님.
답글보고 더 고민 해보겠습니다.