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스테파노 Stefano

09-04-28 23:58

(0) 이 문제는 간단한듯 하지만 압축성 유체라서 풀어내기가 만만치 않은 문제입니다.

(1)식은 우선 단위가 맞지 않습니다. 우측에 Tube내 유량통과계수와 적절한 단위환산계수를 곱해주어야 식이 성립합니다.

(2) 압력비에 따른 유량통과 계수

Tube끝에 밸브가 달려있다고 보고 이 밸브를 통과하는 밸브 통과계수를 압축성 유체에 대해 고려해서 계산해 주어야 합니다. 밸브가 없다고 해도 기다란 튜브를 통과하면서 압력차가 형성되어 압력이 떨어지면서 유속이 증가하게 되는데 문제는 입구와 출구의 압력비(x=p/p1)가 0.528 이상이 된다면 가스의 속도는 음속에 도달하여 더이상 가스가 흐르지 않는다는 점입니다. 음속에 도달하면 분자진동속도와 같아져서 저이상의 속도증가가 일어나지 않습니다.

총알이나 초음속 비행기등은 가속, 가속해서 음속이상으로 날 수 있지만 기체는 분자의 진동저항에 의해 압력차가 분자진동 이상으로 밀고 앞으로 나갈수가 없습니다.

Q, kg-mole/h = dn/dt = K * (1/(MW))*A* (2*P1*ρ1)^0.5...............................(1)

K = Valve Discharge Coefficient = (밸브) 유량통과계수....밸브가 없어도 가는 파이프는 오리피스 역할을 할 것입니다.
= [k/(k-1)]^0.5*[exp{ln(2/(k+1)*k/(k-1)}^(2/k)-exp{ln(2/(k+1)*k/(k-1)}^((k+1)/k)]^0.5, x<=0.528 일때.....(2a)
= [k/(k-1)]^0.5*[x^(2/k)-x^((k+1)/k)]^0.5....................................................................0.528<x<1일때....(2b)
k=isentropic exponent of N2, x=p/p1

아주 복잡하지만 위의 수식을 사용해야 합니다. (식의 유도과정을 포함한 자세한 내용은 압축성 유체의 흐름계산 관련 서적을 찾아보도록 하세요.)

(2a)식은 압력차가 너무 커서 더이상 속도가 늘어나지 않는 음속일때의 유속이고 (2b)식은 압력차가 크지 않아서 음속에 도달하지 않았을 때의 통과계수인데 x 와 k 값으로부터 계산할 수 있습니다.

결론적으로 (질소와 용기내) 압력차가 클경우에는 (2a)식으로 계산되는 상수값의 통과계수를 사용해서 계산한다음 압력이 어느정도 채워져서 (절대압력으로) 압력비 x가 2 bar/4 = 0.5 (<0.528 ) 이하의 영역 즉 압력이 낮을 땐 식(2a)로 계산되는 최대 유량(통과)계수 이상으로 흐르지 않기 때문에 (2a)로 계산하는 상수를 사용하면 됩니다.

질소 k=1.4라고 하면 (2a)식으로부터 K= 0.484가 됩니다. (검산해 보세요)

(3) 따라서 이를 (1)식에 넣고 계산하면,

VdP/dt = RT * (0.484) * (1/28) * A * (2*P1*ρ1)^0.5....................................(3)
위의 (3)식의 우측은 바로 상수입니다. 계산이 간단해졌습니다. P1, ρ1은 공급조건(조건1)에서의 질소의 압력과 밀도입니다. 이 간단한 미분방정식을 고쳐쓰면

dP=(RT/V) * (0.484) * (1/28) * A * (2*P1*ρ1)^0.5 dt...................................(3a)
가 되고 이를 P를 초기압력에서 2 bar abs가 될 때까지 적분하면 소요되는 시간이 계산됩니다.

(4) 만일 P = 0.528* (4.013bar a) = 2.12 bara 이상의 압력으로 올리는데 필요한 추가 시간을 계산하려면
위의 (2b)식을 (1)식에 대입해서 미분방정식을 풀어내야 합니다. 수식이 더 간단해 보이지만 x라는 매개변수가 하나들어있어서 더 복잡하며 지수로 되오 있어서 수식적으로는 풀어내기는 불가능한 것 같고 압력 구간을 쪼개서 수치해석의 방법으로 소요시간을 계산해야 하겠습니다.

matlab이나 mathcad, mathmatica라면 이런 작업을 훌륭히 해낼 수 있습니다.
우선 (3)의 과정까지 걸리는 소요시간을 계산해서 답글로 올려보세요. 답글에서 수식이 틀려있을지도 모르겠습니다. 단위가 맞는지도 확인해 보세요.

(0) 이 문제는 간단한듯 하지만 압축성 유체라서 풀어내기가 만만치 않은 문제입니다.

(1)식은 우선 단위가 맞지 않습니다.  우측에 Tube내 유량통과계수와 적절한 단위환산계수를 곱해주어야 식이 성립합니다.

(2) 압력비에 따른 유량통과 계수

Tube끝에 밸브가 달려있다고 보고 이 밸브를 통과하는 밸브 통과계수를 압축성 유체에 대해 고려해서 계산해 주어야 합니다.  밸브가 없다고 해도 기다란 튜브를 통과하면서 압력차가 형성되어 압력이 떨어지면서 유속이 증가하게 되는데 문제는 입구와 출구의 압력비(x=p/p1)가 0.528 이상이 된다면 가스의 속도는 음속에 도달하여 더이상 가스가 흐르지 않는다는 점입니다.  음속에 도달하면 분자진동속도와 같아져서 저이상의 속도증가가 일어나지 않습니다.

총알이나 초음속 비행기등은 가속, 가속해서 음속이상으로 날 수 있지만 기체는 분자의 진동저항에 의해 압력차가 분자진동 이상으로 밀고 앞으로 나갈수가 없습니다.

Q, kg-mole/h = dn/dt = K * (1/(MW))*A* (2*P1*ρ1)^0.5...............................(1)

K = Valve Discharge Coefficient = (밸브) 유량통과계수....밸브가 없어도 가는 파이프는 오리피스 역할을 할 것입니다. 
= [k/(k-1)]^0.5*[exp{ln(2/(k+1)*k/(k-1)}^(2/k)-exp{ln(2/(k+1)*k/(k-1)}^((k+1)/k)]^0.5,  x<=0.528 일때.....(2a) 
= [k/(k-1)]^0.5*[x^(2/k)-x^((k+1)/k)]^0.5....................................................................0.528<x<1일때....(2b) 
k=isentropic exponent of N2,    x=p/p1

아주 복잡하지만 위의 수식을 사용해야 합니다.  (식의 유도과정을 포함한 자세한 내용은 압축성 유체의 흐름계산 관련 서적을 찾아보도록 하세요.)

(2a)식은 압력차가 너무 커서 더이상 속도가 늘어나지 않는 음속일때의 유속이고 (2b)식은 압력차가 크지 않아서 음속에 도달하지 않았을 때의 통과계수인데 x 와 k 값으로부터 계산할 수 있습니다.

결론적으로 (질소와 용기내) 압력차가 클경우에는 (2a)식으로 계산되는 상수값의 통과계수를 사용해서 계산한다음 압력이 어느정도 채워져서 (절대압력으로) 압력비 x가  2 bar/4 = 0.5  (<0.528 ) 이하의 영역 즉 압력이 낮을 땐 식(2a)로 계산되는 최대 유량(통과)계수 이상으로 흐르지 않기 때문에 (2a)로 계산하는 상수를 사용하면 됩니다.

질소 k=1.4라고 하면 (2a)식으로부터 K= 0.484가 됩니다.  (검산해 보세요)

(3) 따라서 이를 (1)식에 넣고 계산하면,

VdP/dt = RT * (0.484) * (1/28) * A * (2*P1*ρ1)^0.5....................................(3) 
위의 (3)식의 우측은 바로 상수입니다.  계산이 간단해졌습니다.  P1, ρ1은  공급조건(조건1)에서의 질소의 압력과 밀도입니다.    이 간단한 미분방정식을 고쳐쓰면

dP=(RT/V) * (0.484) * (1/28) * A * (2*P1*ρ1)^0.5 dt...................................(3a) 
가 되고 이를  P를 초기압력에서 2 bar abs가 될 때까지 적분하면 소요되는 시간이 계산됩니다.

(4) 만일  P = 0.528* (4.013bar a) = 2.12 bara 이상의 압력으로 올리는데 필요한 추가 시간을 계산하려면 
위의 (2b)식을 (1)식에 대입해서 미분방정식을 풀어내야 합니다.  수식이 더 간단해 보이지만 x라는 매개변수가 하나들어있어서 더 복잡하며 지수로 되오 있어서 수식적으로는 풀어내기는 불가능한 것 같고 압력 구간을 쪼개서 수치해석의 방법으로 소요시간을 계산해야 하겠습니다.

matlab이나 mathcad, mathmatica라면 이런 작업을 훌륭히 해낼 수 있습니다.  
우선 (3)의 과정까지 걸리는 소요시간을 계산해서 답글로 올려보세요.  답글에서 수식이 틀려있을지도 모르겠습니다. 단위가 맞는지도 확인해 보세요.

다윗 david1207

09-04-29 11:23

(1) K=0.484 나옵니다.
수식에서 괄호가 빠져있어서 찾느라 시간이 좀 걸렸습니다.
exp안에 ln에 괄호가 닫혀야 합니다.
ln(2/(k+1) ---> ln(2/(k+1))

(2) dP=(RT/V) * (0.484) * (1/28) * A * (2*P1*ρ1)^0.5 dt 에서
(RT/V) * (0.484) * (1/28) * A * (2*P1*ρ1)^0.5 = 상수, a 라하면
dP=a dt
양변을 적분하면,
P = a*t 로 직선이 되는군요..맞나요?

맞다면 이 때 t의 단위가 어떻게 되는지요?

Stefano

09-04-29 17:05

맞습니다. 용기압력이 낮은 영역에서는 투입속도가 상수이기 때문에 압력상승속도는 1차식으로 나타납니다.
t의 단위는 물론 second가 되어야 하는데 맞나 함께 확인해 보도록 하지요.

jjong

09-06-09 10:37

- 이성적으로 생각해 볼때, 압력용기안에 일정압력의 가스를 주입한다면 최종적으로는 평형상태가 되어야 하지 않나요?
그런데 적분해서 1차식이 나온다는 것은

시간이 지남에 따라 계속 압력이 상승한다는 것인데.. 어딘가 오류가 있다고 생각됩니다.