게시판 > 질답게시판 > 농도변화 식 구하기문제

Stefano

09-08-27 20:32

(1) 물질수지의 기본 수식은
(Input)-(Output)=(Accumulation)......................(0)

(1) 전체 무게를 고려할 경우
(mi)dt-(mo)dt=dM .........................................(1) mi =전체유입유량, mo=전체유출유량, M=탱크내 질량
위의 (1)식에서 mi=mo라면 dM/dt =0 M = Constant = Mo =초기에 들어있던 전체질량

(2) NaOH만의 농도를 고려할 경우 (NaOH가 유입되면 곧 균일하게 섞인다고 가정, 비균일하다면 이야기가 복잡해짐.)
(Ci*mi)dt - (C*mo)dt = Mo*dC..........................(2) Ci=유입농도 =0.07, C=유출농도=탱크내 농도 (가정)

위의 (2)식은 흘러들어오는 NaOH량, 흘러나가는 NaOH량 = 탱크내 누적량 (=전체 질량*농도증가량)으로 (0)식을 NaOH성분에 대해 유출입 물질수지를 나타낸 식입니다.

(3) 식이 세우졌으므로 적분해서 답글을 올려보세요,

위의 (2)식을 t=0~t까지, C = Co~C까지 적분,
Co= 초기(즉 t=0일 때)의 탱크내 농도, 여기서는 0 (Boundary(경계) 조건 C =Co =0 at t=0)

이재혁

09-08-29 11:48

답변 정말 고맙습니다.
문제는 해결했습니다. 지금은 시간이 없어서 못올리고 정리가 끝나는데로 문제푼 과정올려 보겟습니다.
수고하세요~즐건 주말보내시고요~

장영기

09-08-30 09:35

이런 경우의 문제를 대할 때면 정말 미분가 적분의 적절한 활용의 예라고 생각이 됩니다.
고등학교 미적분도 실제로 쓸데가 많은데 우리가 너무 피해다는 것은 아닌지 생각이 듭니다.

이재혁

09-08-31 16:22

조금 늦었지만 계산과정을 올려 봅니다.
(Ci×mi)dt - (C×mo)dt = Mo×dC ……(Ci = 유입농도, C = 유출농도 = 계내 농도)

<조건>
Ci : 7%
mi,mo : 2.1 Ton/min -------->126Ton/hr
Mo : 42 Ton
C(0) : 0% --------> C(0) : 초기 계내의 NaOH 농도

8.82dt - C *126dt = 42* dC
dC/dt ＋ 3C = 0.21………… (1계선형 미분방정식)

- 양변에 적분인자 e^(∫3dt)를 곱함.
{e^(3dt)*C}' = e^(3dt)*0.21
- 양변을 적분하여 초기값(C(0) = 0)를 대입하여 상수값 계산.
C = 0.07 + A*e^(-3dt) <---C(0) = 0
0 = 0.07 + A , ∴A = -0.07

∴ C = 0.07 -0.07*exp^(-3t)

결론 :
7% NaOH용액을 Feed 햇을시 1.5시간만에 0%에서 7%로 농축이 됨.
시간을 x 축, C(농도)를 y축으로 한 엑셀로 그래프를 그리면 exp 함수의 그래프대로 점차적으로 증가하는 모습을 볼수있음.

스테파노님의 답변 고마웠습니다.
자주애용하도록 하겟습니다.~ 담에또봐요~

Stefano

09-08-31 22:01

(1) 답글은 선형미분방정식의 일반해 방법을 이용해서 풀었지만 아래의 (2)식은 변수분리형이므로 다음과 같이 푸는 것이 쉽습니다.

(Ci*mi)dt - (C*mo)dt = Mo*dC..........................(2) 식에서 mi=mo=m 이라고 하면

m (Ci - C) dt = Mo dC ==> (m/Mo) dt = dC/(Ci - C) .....(3) ∫dx/(a-x) = -ln(a-x) + C(상수) 이므로
부정적분==> (m/Mo) t = -ln(Ci-C) + A........................(4)
경계조건 t=0일 때 C = Co = 0 따라서 A = ln (Ci)......(5) 이를 (4)식에 대입하면

(m/Mo) t = ln {Ci/(Ci-C)} ==> Ci/(Ci-C) = e^(m/Mo)t
==> C =Ci {1- e*(-m/Mo)t} .......................................(6)

C=0.07 ( 1 - e^-3t) .................(7) t = 0 이면 C = 0, t-->∞ 면 C=0.07

(2) 따라서 42톤이 들어있는 탱크의 농도가 0.07이 되려면 무한대의 시간이 필요합니다.
1.5시간이라면 6.922 %에 도달합니다. 앞선 답글의 "결론"에 오류가 있습니다.

이재혁

09-09-01 08:53

답글 고맙습니다.

변수분리형으로 푸는방법도 있었군요~결론에서 1.5시간만에 7%에 도달한다는 말은 6.999%에서 반올림한 값입니다.
당연히 무한대의 시간이 필요하겠지만, 제가 원한건 이론적인 값이 아니라 실제적인 값입니다. 6.99%만 되어도 충분히 7%라고 볼수 있기에 그런거죠. 특히 bulk 형태라면 더 그렇죠.
담에 또 뵐께요~ 수고하십시요~