게시판 > 질답게시판 > 건성유 제조 공정에서 반응기 전화율 에 관한 질문입니다.

스테파노 Stefano

10-05-11 15:49

(1) a, b 구하기
Table 1은 Space Time 10 min일 때 온도에 따른 전환율과 선택도를 나타낸 것입니다. 따라서 온도가 정해진 상태에서 (3)식과 (4)식에 τ값을 대입하면 X와 S값이 되는 a와 b의 값들을 각각 구할 수 있습니다. 데이터 구조상 온도를 달리하면 이들 a, b의 값들이 달리 얻어지게 되는데 전 온도의 영역에서 모델 수식을 가장 잘 맞출 수 있는 a, b값을 구할 필요가 있어 보입니다.

계산요령은 실험값과 계산수식값의 차이(Error)를 제곱을 모든 온도데이터에 대해 계산해서 모두 더한 SSE(Sum of Squared Error) 합수를 정의해서 이 값이 최소가 되도록 하는 a를 계산하면 됩니다. 이렇게 해서 계산하는 방법을 Least Squred Sum 방법 (또는 Leat Squre 법) Parameter Estimation이라고 하지요.

(SSE) = Σ [Xi - (1-e^-aτ)]^2 .................................(5) a는 구해야 하는 변수, τ=상수=10분(고정값), Xi = X1, X2,.... = 0.130, 0.184,...(실험값 10개)

위의 (5)식은 2차방정식으로 되어 있어서 이 SSE값이 최소가 되려면 1차미분값 dSSE/da = 0이 되어야 합니다.
dSSE/da = d {Σ [Xi - (1-e^-aτ)]^2}/da = d {Σ [Xi^2 - 2*Xi*(1-e^-aτ)+(1-e^-aτ)^2]}/da = 0 ...................(6)
위의 (6)식으로 나타낸 미분값이 0이 되도록 a를 정해주면 됩니다.

b값도 같은 방법으로 Table1에 실험치로 얻어진 Selectivity값들과 모델수식 (4)식으로 부터 계산하면 됩니다. 직접풀어보세요.

(2) 스캔해서 올려놓은 자료를 보면 EAOC라는 "연간 운전비용"을 계산하는 수식이 있는데
최적 온도를 구하려면 각 온도에서의 물질수지와 유틸리티 소요량, 기기장치 크기를 계산해서 각 온도에서의 EAOC를 계산해보고 EOAC와 온도와의 그래프를 그려서 최적화를 해보라는 문제로 보입니다. 따라서 우선 a, b를 구한다음 EOAC를 나타낸 각 항을 수식(3), (4)로 나타낸 다음 이 EAOC값이 최소가 되는 온도T와 Space Time τ 를 구해보세요.

EOAC에 나타낸 항목은 (제품가), (원료가), (유틸리티비), (Gum 제거비), (감가상각비)로 구성되는데 (제품가)만 제외하고 모두 비용항목입니다. 제품가나 원료가는 물질수지에서 얻어지는 연간 생산량, 소비량에다 판매,구입단가를 곱하면 되고, 유틸리티 비용은 스팀, 동력, 냉각수, 등의 비용을 계산해야 하고 Recycle Pumping Cost도 포함시켜야 합니다. Gum 제거비도 이전에 구한 방법으로 계산해야 하고 감가상각비는 장치크기에 따라 달리 투자비를 계산한 다음 이를 년간감가상각비로 나타내야 합니다.

(3) antonine식, 증기와 액체의 Cp, Dew Point, Bubble Point,..
Antoine 식은 온도에 따른 증기압을 나타낼 때 쓰이는 수식이고, 증기와 액체의 비열은 이들을 가열하거나 냉각할 때 필요한 값입니다. 또 Dew Point는 혼합물에서 Reboiler 온도를 추정할 때 쓰이고 Bubble Point는 혼합물질에서 Condenser의 응축온도 계산에 사용됩니다. Acetic Acid와 DO의 순도가 아주 높다면 순수한 이들의 증기압으로부터 Reboiler나 Condenser의 온도를 추정하면 되고 Dew Point나 Bubble Point를 사용할 필요는 없습니다.

Antoine 수식은 압력이 정해졌을 때 순수한 물질이 끓거나 응축하는 온도를 계산하는데도 쓰입니다. Column에서의 유틸리티 비용은 Reflux Ratio에 따라 크게 달라집니다. 이 문제에서 Reflux Ratio가 주어지지 않았다면 어떤 방법으로 Reflux Ratio를 적용할 것인지 궁금하기도 합니다. 계산해야 할 사항들이 너무 많아서.. 문제를 간단히 하기 위해 예를 들어 RR=1로 정해두고 풀라고 했을지도 모릅니다.

계산요령은 실험값과 계산수식값의 차이(Error)를 제곱을 모든 온도데이터에 대해 계산해서 모두 더한 SSE(Sum of Squared Error) 합수를 정의해서 이 값이 최소가 되도록 하는 a를 계산하면 됩니다.  이렇게 해서 계산하는 방법을 Least Squred Sum 방법 (또는 Leat Squre 법) Parameter Estimation이라고 하지요.

(SSE) = Σ [Xi - (1-e^-aτ)]^2 .................................(5)  a는 구해야 하는 변수, τ=상수=10분(고정값), Xi = X1, X2,....  = 0.130, 0.184,...(실험값 10개)

위의 (5)식은 2차방정식으로 되어 있어서 이 SSE값이 최소가 되려면 1차미분값 dSSE/da = 0이 되어야 합니다.  
dSSE/da = d {Σ [Xi - (1-e^-aτ)]^2}/da = d {Σ [Xi^2 - 2*Xi*(1-e^-aτ)+(1-e^-aτ)^2]}/da = 0  ...................(6)
위의 (6)식으로 나타낸 미분값이 0이 되도록 a를 정해주면 됩니다.

b값도 같은 방법으로 Table1에 실험치로 얻어진 Selectivity값들과 모델수식 (4)식으로 부터 계산하면 됩니다.   직접풀어보세요.

(2) 스캔해서 올려놓은 자료를 보면 EAOC라는 "연간 운전비용"을 계산하는 수식이 있는데 
최적 온도를 구하려면 각 온도에서의 물질수지와 유틸리티 소요량, 기기장치 크기를 계산해서 각 온도에서의 EAOC를 계산해보고 EOAC와 온도와의 그래프를 그려서 최적화를 해보라는 문제로 보입니다.   따라서 우선 a, b를 구한다음 EOAC를 나타낸 각 항을 수식(3), (4)로 나타낸 다음 이 EAOC값이 최소가 되는 온도T와  Space Time τ 를 구해보세요.

EOAC에 나타낸 항목은   (제품가), (원료가), (유틸리티비), (Gum 제거비), (감가상각비)로 구성되는데 (제품가)만 제외하고 모두 비용항목입니다.  제품가나 원료가는 물질수지에서 얻어지는 연간 생산량, 소비량에다 판매,구입단가를 곱하면 되고, 유틸리티 비용은 스팀, 동력, 냉각수, 등의 비용을 계산해야 하고 Recycle Pumping Cost도 포함시켜야 합니다.  Gum 제거비도 이전에 구한 방법으로 계산해야 하고 감가상각비는 장치크기에 따라 달리 투자비를 계산한 다음 이를 년간감가상각비로 나타내야 합니다.

(3) antonine식, 증기와 액체의 Cp, Dew Point, Bubble Point,..
Antoine 식은 온도에 따른 증기압을 나타낼 때 쓰이는 수식이고, 증기와 액체의 비열은 이들을 가열하거나 냉각할 때 필요한 값입니다.  또 Dew Point는 혼합물에서 Reboiler 온도를 추정할 때 쓰이고 Bubble Point는 혼합물질에서 Condenser의 응축온도 계산에 사용됩니다.  Acetic Acid와 DO의 순도가 아주 높다면 순수한 이들의 증기압으로부터 Reboiler나 Condenser의 온도를 추정하면 되고 Dew Point나 Bubble Point를 사용할 필요는 없습니다.

Antoine 수식은 압력이 정해졌을 때 순수한 물질이 끓거나 응축하는 온도를 계산하는데도 쓰입니다.  Column에서의 유틸리티 비용은 Reflux Ratio에 따라 크게 달라집니다.  이 문제에서 Reflux Ratio가 주어지지 않았다면 어떤 방법으로 Reflux Ratio를 적용할 것인지 궁금하기도 합니다.   계산해야 할 사항들이 너무 많아서.. 문제를 간단히 하기 위해 예를 들어 RR=1로 정해두고 풀라고 했을지도 모릅니다.

karls skdcjss

10-05-11 18:04

한가지더 여쭤보겠습니다. 그림 보시면 T501에 리보일러의 enter 온도가 380도 leave온도가 360이라고 나와있습니다. 그런데 문제 조건에서 T501의 탑의 하부는 300도가 넘으면 안된다고 나와있는데(껌생성때문에) 어떻게 리보일러의 들어가는 온도가 380이 될수 있는지요??

Stefano

10-05-11 18:28

Reboiler (간접)가열용 열매의 온도가 380도에 들어와 360도에 나가는 것이 아닌지요?
T-501의 탑 하부 온도가 높다면 T-501은 압력을 낮추어 주어야 합니다. 너무 높으면 T-501에 진공을 걸어줘야 할수도 있습니다.

karls skdcjss

10-05-11 20:24

아 그런것 같네요 ㅎㅎ 감사 합니다. 그런데 위해 말씀하신게 혹시 최소 자승법인지요? 그리고 환류비를 말씀하셨는데 공정도 보시면 제가 숫자써놓은게 있는데, 아무튼 문제에 1/3이 두번째 탑으로 나가고 2/3이 환류 된다고 나와있습니다. 이걸 사용하면 될듯싶은데 아닌지요??

Stefano

10-05-11 21:27

그림속에 손으로 3,2,1이라는 숫자가 유량비를 말한다면 Condensate 3, Reflux 2, Distillate 1을 의미할 것이고 "Condensate의 2/3가 환류된다"고 표현했지만 Reflux Ratio(RR)는 주로 "Reflux/Distillate"의 비로 나타내기 때문에 RR=2/1=2 가 됩니다.

karls skdcjss

10-05-12 16:11

오늘 하다가 생각했는데, 만약에 a가 고정이되면 각 공간시간마다 x가 하나밖에 나오지 않습니다. 그러면 온도에따른 x를 구할수가 없는데 이건 어떻게 해야되는지요.

스테파노 Stefano

10-05-17 10:56

1) 공간시간은 10분이라고 정해진 데이터만이 나열되어 있는데 다른 공간시간에 대해서도 같은 수식이 적용될 수 있다고 했으므로 그 수식을 이용하면 되고
2) 공간시간 10분인 경우 하나의 온도에 하나의 X만 정해져 있으므로 온도별로 다른 하나씩 만의 a값이 나오게 될 터인데 이는 실험데이터의 오차를 고려하지 않았을 때의 이야기이고 각 온도에 대해서 구해진 각각의 a값들이 여러 온도와 공간시간에 대해 적용할 수 있는 값이 되기 위해 온도범위내에서 최소의 Data Error 값을 가지는 a를 먼저 구해야 할 것입니다.
3) 그리고 나면 두개의 변수 즉 i)공간시간과 ii)온도값을 넣으면 구할 수 있는 수식에서 상수 parameter값들을 사용해서 X를 구할 수 있을 것입니다.

karls skdcjss

10-05-17 22:42

감사합니다. 그런데 탑의 온도는 어떻게 결정이 되나요? 보면 피드는 180도 리보일러 되는온도는 253~300도 위에서 응축되서 내려오는 온도는 118도 (전부 DO와 AA의 비점으로 정했습니다.) 그리고 antoine 을 도데체 어디에 쓰는지 좀 알려주시면 좋겠습니다.

스테파노 Stefano

10-05-23 17:00

(1) 탑의 온도는..
탑 내의 성분 함량에 따라 상변화온도가 달라지기 때문에 달라집니다 . 순수한 물질이 탑상하부로 증류되어 나온다면 그 물질이 탑 내부의 압력에서 증발하고 응축되는 온도가 될 것이고 탑 하부에서도 탑하부 제품의 증발온도가 될 것입니다.

탑상부와 하부로 여러 성분이 혼합된 물질로 배출되는 경우에는 탑내의 압력과 성분조성에 따라 온도가 달라집니다. 엄밀하게 얘기하면 탑상부 액의 온도는 탑 상부 압력에서 액의 Bubble Point 이하로 냉각되어 배출되고 탑 하부에서는 혼합물의 증기압이 탑하부의 압력과 같아지는 온도로 배출됩니다. 이 문제에서는 앞서 설명한 대로 순수한 물질로 분리된다고 보고 온도를 결정하면 될 것입니다 .

(2) Antoine Equation
물질의 증기압을 나타내는 수식을 말합니다. A, B, C의 세가지 상수만 정해지면 온도에 따른 증기압을 나타낼 수 있느 수식이 바로 이 수식입니다. 형태는 대체로 다음과 같은 수식입니다. 증기압의 단위와 온도T의 단위에 따라 A, B, C 값이 달라집니다.

(증기압) = A/(BT+C)....... (7)... 안토인 수식 형태

(8)참고로..
어느 물질의 온도에 따른 증기압을 모르는 경우,
T1, T2, T3 값에 따른 증기압 P1, P2, P3를 측정하면 그 물질에 대한 A, B, C 값을 구하여 온도범위 T1~T3 구간에서의 증기압을 구할 수 있는 수식을 만들 수가 있습니다.

P1= A/(BT1+C)................(7a)
P2= A/(BT2 +C)...............(7b)
P3= A/(BT3+C)................(7c)

위 수식에서 미지수 3개이므로 방정식 3개만을 연립으로 풀어서 미지수를 구할 수 있지만 수식의 정확도를 높이기 위해서라면 증기압데이터가 많으면 많을 수록 더 좋습니다.