공식은 continuity equations과 equation of motion을 이용하여
cylindrical geometry 일때는
일단 cylindrical coordiation
진행방향은 z 각(0->360도)은 thi 그리고 지름방향은 r
원넓이는 파이프의 cross sectional area
D=delta
mu=viscosity
V_z=(DP/DL)r^2/4(mu) + C_1 ln r + C_2
(-DP/DL)=(-Dp/DL)-density*gravity sin 270 <- 진행방향이 아래니깐 270도 입니다. Dp 양쪽 파이프가 대기압으로 뚫여있을때 이것은 0이 됩니다.이게 아닐수도있습니다. Dp는 탱크 A와 B의 압력차이입니다만.. 주어진 정보로는 구할수가 없네요 누가 좀 도와주세요~~~~탱크의 지름이 주워졌나여? 그럼 50ton*gravity/탱크의원넓이 혹시 (50ton)*gravity/(원넓이) 일수도있으니...
C_1과 C_2
은 두개의 바운더리 컨디션 으로 구할수있습니다. r=3/2 <-이상황은 파이프 끝 쪽을 가르키고요 유속은 0이 됩니다.왜냐면 벽에 다았기때문입니다.그러면 C_2를 구할수있게됩니다. 다른데다가 잘 써놓으세요 나중에 필요하니..
또하나는 r=0인데 ln 0가 없죠;; ㅡㅡ; 그러므로 C_1 ln r을 그냥 빼버립니다. 저도 잘모르지만 ㅋㅋ 교수님이 그러셨습니다.
다시 식을 정리하면
V_z=(Dp/(10m)+desity*gravity*sin270)*r^2 /4(mu) + C_2
아까 필기해둔 C_2집어 넣습니다.
최대 유속은
V_z'=0이렇게 해놓고 긴 식 V_z을 derivative합니다.
평균 유속은
V_z double intergrate (r 0->3/2) (th 0->2Pi) 원 넓이 구하듯이.. 나누기 double intergrate (r 0->3/2) (th 0->2Pi)
유량은
최대유속에다가 파이프 원넓이 곱하면 됩니다.
그런데 최대 유량은 보통 안쓰는걸로 압니다. 보통 평균유속에다가 원넓이만 곱하면 유량이 나오거든요
아무튼 도움이 되셨길 바랍니다. 수고하세요
아무튼 그 50톤의 정보를 알때까지는 압력과 유량의 관계는 전혀 관련이 없겠군요;;; 아니면 그냥 Dp 로 놓고 V_z관계를 구해보세요 물론 압력이 올라가면 유량도 올라가겠죠;;
(1) 탱크간 액면의 차이로 흘러가는 경우라면 액면차가 바로 물이 흘러가도록 해주는 Driving Force가 되는 압력차(정압차)를 제공해줄 것이고,
정압차, ΔPs N/m^2 = (물의 밀도, ρ kg/m^3)*(중력가속도, g m/s^2)*(탱크간 액면차이, ΔZ m) = ρ*g*ΔZ, kg-m/s^2/m^2 ......(1)
(2) 유체가 흘러갈때의 압력손실에 해당하는 만큼의 유체가 흘러갈 것이고,
압력손실, ΔPf N/m^2 = (4 f L/D+..+..)*(물의 밀도, ρ kg/m^3)*(유속, v m/s)^2/2 =(4 f L/D+..+..)ρ*v^2/2, kg-m/s^2/m^2 ........(2)
f = Fanning's Friction Factor = Function of Reynolds No(Re), Relative Roughness of Pipe Surface(ε/D).....(3)
Re =ρ*D*v/μ..............(4)
(3)위의 (1)식은 베르뉴이 수식의 정압만을 나타낸 것이고, (2)식은 관을따라 유체가 흐를 때의 마찰손실에 관한 수식 즉 Fanning's Equation이 됩니다. 이 두식이 같아질 때 (ΔPs=ΔPf)의 평균유속 v 을 구하여 여기에 Pipe 단면적을 곱해주면 부피유량이 구해질 것입니다.
부피유량, Q m^3/s = (유속, v m/s )*(단면적 A m^2) ...........(5)
(4) 문제는 풀이방법인데...
유량을 알아야 하는데 유속조차 알 수 없으므로 시행오차의 방법으로 구해야 합니다.
1) 유량 Q를 가정하고 (5)식으로 유속v를 구한다.
2) 물성 ρ, μ 및 유속v로부터 (4)식으로 Reynolds No. (Re)를 계산
3) 마찰계수를 (3)식으로 구하고 배관부품이 있을 경우 (2)식으로 압력차 계산
4) ΔPf = ΔPs 가 맞는지 확인, 허용오차이내의 차이를 보이면 Q를 유량으로 취하고 종료
5) 만일 그렇지 않으면 다시 1)의 과정으로부터 반복
베르누이 식을 보면, P1/ρ + gZ1 + u1^2/2 = P2/ρ + gZ2 + u2^2/2 + h (loss by friction) --- 1번
높은 곳에 있는 Tank의 water surface에서의 지점을 1, 아래 쪽에 위치한 Tank의 inlet 점에서의 위치를 2라고 하면,
둘다 대기압 상태라 한다면, P1/ρ = P2/ρ, Tank의 level이 감소되는 속도가 무시할 정도로 작다면, u1 = 0 이라 한다면
1번의 베르누이 식은, 아래와 같이 됩니다.
g(Z1-Z2) = u2^2/2 + h , 결국 에너지 발란스의 관점에서 보더라도, 높이차로 인한 Potential Energy =Kinetic Energy (속도) + Friction loss Energy 가 됩니다.
따라서, 만약 ΔPs (높이차) = ΔPf (Friction loss Energy)라면, Kinetic Energy 가 0이 되어, 최대유량이 흐르는게 아니고, 유체가 흐르지 않게 되는게 아닐까요..
(1) 베르누이식의 정확한 정의는 유체의 압력과 유속의 상관관계를 나타내는 식이지 위와 같이 Friction loss를 반영한 식이 아닙니다.(또는 높이에 대한 압력인 수두차와의 관계를 나타냅니다.)
(2) 따라서 Fiction loss를 구하기 위하여 계산하는 방벙은 페닝식이나 Darcy's 식을 사용합니다.
(3) ΔPs=ΔPf의 값이 완전히 일치할경우 겨울바다님 말처럼 유체는 흐르지 않게 되겠지요.(정확히 말하면 목표했던 유량보다 작게 흘러 유체의 Loss가 줄어 흐를겠지요.) 하지만 최대유량은 ΔPf의 값이 ΔPs와 같이 같아질수록 점점 흐를수 있는 유량이 많아집니다. 따라서 극한값을 적용하면 ΔPf의 값이 ΔPs의 값을 최대하 가까이하면 ΔPs=ΔPf와 같다는 것입니다. 예를 들면 ΔPs=1일경우 ΔPf의 값을 0.99999999999999999999와 같이 최대한 가까이 한다는 이야기입니다.
(1) 베르누이의 정확한 정의라기 보다, 베르누이 식의 기본형에는 Friction loss 항목이 없습니다.
베르누이 식의 유도과정을 보면, 몇가지 가정이 있는데, 예를 들어 (1) steady stae, (2) inviscid flow(ρ ~ constant),
(3) negliable friction loss.... 등의 가정이 있습니다. 그러기에 베르누이의 기본식에는 friction loss 항목이 없는것입니다.
(2) 대부분의 유체역학 문제와 식은 기본이 베르누이 식에서 출발합니다. 예를들어, Gas line의 Pressure drop을 구하는
식도, 유도과정의 맨 꼭대기에는 베르누이 식 + friction loss 의 미분식으로 출발합니다.
모범생님의 말씀처럼, friction loss를 구하식은 당연히 Darcy's equation 식을 사용합니다만.
위의 탱크 문제의 경우처럼, 위치 에너지가 고려대어야 할 경우에는 당연히 베르누이 식을 이용하여야 합니다.
Darcy's equation은 Friction 으로 인한 에너지를 속도에너지의 형태로 표현한 것일 뿐입니다.
(3) 제가 위에서 정리한 베느루이 식을 조금더 전개하면,
g(Z1-Z2) = u2^2/2 + h = u2^2/2 + Ku2^2/2 가 되고, 제 생각에는 결국 K 값이 속도에 영향을 받기에, 이 식을 만족
하는 u2의 값중에 최대값이 최대유량이 될것이라 생각합니다.
수식이 아닌 이치(?)상으로 분석을 하였을 때도, 배관의 skin friction의 경우, Q의 제곱에 비례합니다.
즉, 유속이 증가하면, Friction 이 커집니다. 그래서 속도가 증가하여, Friction도 커지다가, 더이상 에너지 발란스를
만족 시킬 수가 없을 때가 최대유량이 흐르는 거지, 높이차로 인한 위치에너지와 마찰손실 에너지의 양이 같아 질
때가 최대유량이 흐르는 것이 아닌거 같습니다.
이 유체가 흐를수 있는 driving force는 높이차에 따라서 생긴 Potential Energy 입니다.
결국 유체가 흐르는 동안 어떤 형태로, 어떤 속도로 자기 맘대로 흐르든 이 유체가 사용할 수 있는 Total Energy는
이 위치Energy 만큼만! 사용할 수 있습니다.
모범생님의 답변처럼, 유량, 그냥 부피유량으로 하죠. 부피유량이 증가하면서, 그에따른 Friction 으로 손실되는 Energy가
커지고, Fluid의 속도, 즉 Kinetic Energy는 Potential Energy - Friction으로 손실되는 Energy 를 가지게 됩니다.
근데 여기서 가만히 생각을 정리해보니, 이 문제에서, 높은곳에 위치한 탱크의 수면 높이가 정해지면, 저 Energy 식을 만족하는 만큼의 유량이 흐르는 것이지, 최소, 최대유량이라는 개념이 적용되지 않을거 같다는 생각이드네요.
탱크의 수면높이가 올라가면, 유량이 바뀔수도 있겠지만, 탱크의 높이가 일정하면 유속은 일정 유량만 흐를 것이라고 생각되어 집니다.
(1) 위의 글을 보니 겨울바다님이 이야기하고자 하는것을 이해했네요. 윗글에서 겨울바다님의 말씀이 맞다고 생각됩니다.(정상상태일경우) 제가 이야기한것은 윗탱크에서 아래의 탱크로 흐를때 점점 가속이 붙어 최종종말속도를 이야기 해습니다.
(2)"속도가 증가하여, Friction도 커지다가, 더이상 에너지 발란스를 만족 시킬 수가 없을 때가 최대유량이 흐르는 거지, 높이차로 인한 위치에너지와 마찰손실 에너지의 양이 같아 질 때가 최대유량이 흐르는 것이 아닌거 같습니다."라는 문구가 있는데 에너지 발란스가 만족할수 없다는 것은 무엇을 이야기하는 것입니까? 제가 생각하기에는 ΔPs>ΔPf로 처음에 흐름이 시작되어 ΔPs>=ΔPf상태로 진행이 되어 극한으로 ΔPs=ΔPf상태로 바뀔때 ΔPf는 ΔPs를 넘길수 없다는것 같은데 그 것이 높이차로 인한 위치에너지와 마찰손실 에너지의 양이 같아 질 때가 최대유량이 흐르는 것과 무슨 차이가 있는지요?
(3) 겨울바다님과 이렇게 이야기하니 잃어버렸던 내용을 다시한번 되집는 계기가 됩니다. 좋은하루 보내십시요.
(0) 베르뉴이 수식은 원래 마찰이나 일, 열의 유입 유출 등이 없는 가정에서 유도된 것이나 이를 확장하면 이들 모두를 포함하는 에너지 밸런스 수식이 됩니다. 원래의 베르뉴이수식은 Energy Blance Equation 수식의 간단한 형태일 뿐입니다.
(1) 따라서 베르뉴이 수식에 "마찰손실이 포함되어 있지 않다"는 이야기는 맞지 않는 이야기 이며 필요시 이들을 포함하면 됩니다.
(2) 겨울바다님의 "ΔPs=ΔPf 일때는 유체가 흐르지 않을거 같은데요.." 이것도 맞지 않습니다 .
시스템에서의 유체흐름은 Static Pressure Difference(ΔPs)의 차이로 흐르게 되는 것이고 유체의 흐름이 무한히 큰 것이아니고 Friction 에 의한 Pressure Drop(ΔPf)과 같아질 때까지 유량이 늘어납니다.
(3) 따라서 위의 등식이 성립할때의 흐름 유량이 바로 최대유량이고 더이상 흐를 수 없습니다. 유량을 더늘이려면 펌프를 사용하든가 윗탱크에 압력을 가해야 합니다.
