(1) 단면이 k:1 Ellipsodal(타원)인 모양의 볼을 언급하는 것입니다 예를 들어 2:1 Ellipsoidal 형인 경우에는 k = 2(>=1)를 말하고 있는 것이고..제대로 알고나 답하시요.
(2) 혹시 "저승사자"가 쫓아다니기 때문에 "발작"을 일으키시는 것은 아닙니까?
(1) 수평형 씰린더부분의 부분 부피, V1
이 부분의 계산이 복잡합니다. 이는 전체부피에 부분부피비율계수(F)를 곱해서 구할 수 있습니다. 적분은 조금 복잡한데 결과치만 나타내면 다음과 같습니다.
(부분부피,V₁)= (전체부피,Vt1=πD^2L/4)*(부분부피계수,F₁).........(a)
여기서
F₁=(1/π){2(2α-1)[α*(1-α)]^0.5 + Sin^-1(2α-1)+π/2}
α = H/D, H=바닥으로부터 높이, D=탱크 직경
(2) 타구(단면이 타원 모양을 가지는 입체)의 부분부피, V2
수평형 탱크의 양끝 Ellipsoidal Shape 부분에서의 부피(V₂)도 양끝을 합한 Elipsoidal Shape의 전체부피,Vt₂에 대한 부분부피 비율(F₂)을 곱해서 나타낼 수 있습니다.
(부분부피,V₂)= (전체부피,Vt₂=πD^3/6k)*(부분부피계수,F₂).........(b)
여기서
Vt = πD^3/6k, k=Ellipsoidal Factor(>= 1)
F₂= (H/D)^2[3-2(H/D)]
(3) 따라서 Horozontal Cylinder의 부분부피는
(a)와 (b)에서 구한 부분부피들을 합하면 됩니다.
(4) 수직 드럼의 경우 타구부분 부분부피 V₃
(참고: 수직형 Drum의 경우 체적을 쉽게 구했다고 했는데 맞는지 확인해 보세요.)
수직형인 경우에도 Ellipsoidal Shape의 부피 부분의 부피를 구하는 것이 관심사항입니다. 여기서도 수직탱크에서 수직 실린더 부분이 없는 경우, 부피는 전체부피에 대한 부분부피 비율로부터 계산할 수 있습니다. Ellipsoidal Shape 부분의 부피는 적분해서 얻을 수 있는데 여기서는 결과치만 나타내 보이겠습니다.
(1) 완전한 구형, 타구,실린더, 등의 전체부피를 적분해서 구하는 방법은 여러가지가 있는데 또 이미 초중교과서에 결과식만 공식으로 소개되어 있으며 적분해서 구하는 방법도 고교수학 수준으로으로 구할 수도 있습니다. 이를 질문하시는 것은 아닐테고..
(2) 수평형 실린더, 타구, 모양의 부분부피를 구하는 것이 사실상 간단하지 않습니다. 많은 공학서적에는 테이블형태의 결과값만을 테이블로 제공하고 있습니다.
첫번째 올린 답글에서 F1, F2, F3의 부분부피계수를 나타내는 수식을 알려드렸는데, 그 어느 공학서적에서도 이들 수식을 소개하는 곳을 발견할 수 없었습니다.
그래서 이들은 스테파노가 직접 적분해서 얻은 수식을 알려드린 것입니다. 그러나 생각처럼 어려운 것이 아니고 단지 복잡할 뿐입니다. 특히 수평형 실린더의 부분부피의 경우가 좀 더 복잡합니다. 이 경우에는 치환적분, 부분적분, 삼각함수의 적분의 개념만 알고 있으면 무리없이 풀어낼 수 있습니다.
이영철님도 직접 적분해서 풀어보려고 하셨다니까 적분에대해 많은지식을 가지고 계신것으로 생각되기 때문에 여기서는 힌트만 드립니다. 직접 풀어서 답글로 올려주시면 다른 독자들에게도 많은 도움이 되리라 생각됩니다.
(게시판에서는 수식이나 수학기호등을 완벽하게 적어내릴 수가 어렵기 때문에 첨부파일로 올려주셔도 좋습니다)
(3) 수평형 실린더의 부분부피계수(F1) 구하기
1) 우선 수평형 실린더 의 수직단면을 연상합니다. 중심축에 수직인 단면은 항상 직경이 D인 원이 됩니다.
이 원의 중심을 지나는 곳에 가로 x, 세로y,가 되도록 좌표를 그려넣고 그 원의 방정식을 구해보면
x^2 + y^2 = (D/2)^2 .......(a)가 되고
x와 y은 모두 -D/2~ +D/2 의 수치영역에 들어갑니다.
이들 x,y등은 부피를 구하는데 간접적으로 이용할 수가 있습니다. (다른말로 표현하면 매개변수들입니다.)
2) 이 원의 맨 밑에서 수직방향의 높이, H를 고려하고 y와 H와의 관계식을 구해보면 다음과 같음을 알 수 있습니다.
H = y + D/2 ...............(b)
3) 원의 단면의 임의의 위치에서 미분부피 dV는 다음과 같습니다.
dV = 2xL dy, L=실린더 길이...............(c)
4) 위의 (c)식을 적분하면 됩니다. 즉 x^2=(D/2)^2-y^2를 대입하고 복잡하니까 D/2=a 라로 두고 정적분을 H=0~H 에 대응하는 매개변수 y값 구간에 대해 풀어가면 되겠으나, 그리하면 수식이 너무 장황해져 버리니까 여기서는 부정적분을 한 다음 나중에 정적분을 하면됩니다. 적분상수도 적분기호가 모두 없어질 때 넣어주고 경계치(즉 H=0일 때 V=0)값으로부터 적분상수를 고려해주면 됩니다.
dV= 2 L (a^2-y^2)^0.5 dy, a=D/2, -a<= y <=a...(d)
5) 치환적분
이 (d)식의 적분결과식은 수학서적에 대부분 소개되어 있는데 어차피 계산해 보기로 했다면
y = a sin θ, dy=a cosθ dθ, 0<=θ<=2π ....(e)
로 치환하고
1-sin^2 θ = cos^2 θ...(f)를 대입하면
dV=2aL∫cos^2 θ dθ.......(g)를 얻어 이를 적분하면 됩니다.
6) 부분적분
위의 (g) 식의 적분은
u=cos θ, du=-sin θ dθ
dv=cos θ dθ, v= sin θ........(h)
로부터
∫d(uv)= ∫udv + ∫vdu = uv (+ C)의 원리를 이용해서
∫udv = uv - ∫vdu ...........(i)에 (h)의 관계식을 모두 대입하여 푼 다음 매개변수를 원래의 값으로 대입해 주면 됩니다.
7) 이렇게 적분해서 부분부피가 얻어지면 이를 전체부피 (∏D^2L/4, ; D:탱크직경, L=길이)로 나누어주면 부분부피계수를 얻을 수 있습니다.
직접 풀어보시고 답글을 올려주세요.
(4) 수평탱크의 양쪽 끝부분만을 모두 고려한 타구형 부분의 부분부피 계수 F2
1) 수평형탱크(직경D, k:1의 Ellipsoid 형)에서의 타구의 수평단면은 항상 타원모양이 됩니다. 타구의 중심에 수평탱크의 축방향을 x, 수직방향을 z, 나머지 직교좌표의 축을 y라고 하면
[x/(D/2k)]^2 +[y/(D/2)]^2 + [z/(D/2)]^2 = 1..(1)
2) z(=H-D/2, H=바닥으로부터의 높이)값이 일정한 값으로 수평면으로 단면을 잘랐을 경우에 (1)식은 다음과 같이 됩니다.
[x/(D/2k)]^2 +[y/(D/2)]^2 = 1-[z/(D/d)]^2 =상수..(2)
3) 위의 (2)식으로부터 얻어지는 단경x＇, 장경y＇로 이루어지는 타원의 면적은
A = ∏ x＇y＇가되고 수직방향 미분길이 dz일때의 미분부피는
dV= A dz = ∏ x＇y＇ dz, ...............(3)
4) 위의 (3)식을 적분하기 위해 x＇ 와 y＇를 z의 함수로 나타내기만 하면 됩니다.
앞서 나온(2)식을 타원의 방정식으로 고쳐쓰면 z=z 의 평면으로 잘랐을 경우 타원모양이 얻어지고 이타원의의 장경과 단경은 각각 다음과 같아집니다.
장경 y＇=(D/2)[1-z^2/(D/2)^2]^0.5
단경 x＇=(D/2k)[1-z^2/(D/2)^2]^0.5 ........(4)
5) 이 결과를 (3)에 대입하여 부분부피를 구하면 z의 함수로 나타낼 수 있고 z = H-D/2를 대입하면
H,D의 함수로 부분부피를 나타낼 수 있습니다.
6) 이를 전체부피(∏D^3/(6k))로 나누면 부분부피계수 F2를 구할 수 있습니다
이 계산의 결과도 답글로 올려주세요.
(5) 수직드럼의 부분부피 계수는 더욱 쉽습니다. 이미 계산방법을 구했었다고 하셨는데 그 결과식을 올려주세요.
(사실 제가올린 맨처음 답글의 H/D는 앞서 수평탱크 직경 D와의 혼돈을 피하기 위해 다른 기호 h, d를 사용해서 h/d라고 써주고 이를 타구의 "수직방향 단직경 d에 대한 높이 h의 비"라고 써 줘야 맞거든요)
