Stefano Stefano   39-08-02 00:00 (1) Suction과 Discharge (절대)압력이 정해졌을 때 다단 압축기의 각 단에서의 압축비는 동일하게 유지할 때 최소의 동력이 필요합니다. 이를 수학적으로 풀어봅니다. Ps=Suction 압력 Pi= i단 배출압력 Pd=Discharge 압력 각단의 압축비 P1/Ps=r1, P2/P1=r2, P3/P2= r3,... (2) 각 단(i단)의 압축동력 단열압축시 PV^k= Co (=constant) (HP)1=∫VdP = C1∫(P^(-1/k)dP = ZRT*k/(k-1)[(P1/Ps)^((k-1)/k)-1]  --------①a (HP)2= ZRT*k/(k-1)[(P2/P1)^((k-1)/k)-1]----①b  1단 압축비=P1/Ps=r1 2단 압축비=P2/P1=r2 압축기 전체의 압축비 = r1*r2 = Pn/Ps = r = 상수, r2=r/r1 -------② (3) 전체의 동력= (HP) = (HP1)+(HP)2 =ZRT*k/(k-1) [ {r1^((k-1)/k)-1} + {(r/r1)^((k-1)/k)-1} ] -----③  ③식은 전체 소요 동력을 나타냅니다. (여기서의 k는 단열압축인 경우 isentropic exponent, polytropic 압축인 경우 polytropic exponent가 됩니다. ) 이 값이 최소가 되기위한 r1을 구해보면 됩니다.  HP가 최소값이 되려면 HP를 r1에대해 미분한값이 0이 되어야 하므로 d(HP)/d(r1)=0 이 되어야 합니다. 식이 복잡하므로 (k-1)/k = α로 두면 αr1^(α-1) +  r^α * (-α) * r1^(-α-1) = 0 양변에 r1^(α+1)/α을 곱하고 정리하면 r1^(2α)=r^α,  r1^2= r  따라서 r1= √r,  r2= r/(r1) = r/(√r) = √r 즉 2단 압축기의 경우 r1= r2 =√r 이 될 때 BHP가 최소가 됩니다. 일반적으로 n단 압축기의 경우에도 같은 방법으로 풀 수가 있습니다.   n단 압축기의 경우, 각 단의 압축비가 r1=r2=...= ri= r^(1/n)가 될 때 최소의 동력이 소요됩니다.  복잡한 것 같지만 압축동력의 수식과 미분식을 이해하면 어려운 문제는 아니지요. (1) Suction과 Discharge (절대)압력이 정해졌을 때 다단 압축기의 각 단에서의 압축비는 동일하게 유지할 때 최소의 동력이 필요합니다. 이를 수학적으로 풀어봅니다. Ps=Suction 압력 Pi= i단 배출압력 Pd=Discharge 압력 각단의 압축비 P1/Ps=r1, P2/P1=r2, P3/P2= r3,... (2) 각 단(i단)의 압축동력 단열압축시 PV^k= Co (=constant) (HP)1=∫VdP = C1∫(P^(-1/k)dP = ZRT*k/(k-1)[(P1/Ps)^((k-1)/k)-1] --------①a (HP)2= ZRT*k/(k-1)[(P2/P1)^((k-1)/k)-1]----①b 1단 압축비=P1/Ps=r1 2단 압축비=P2/P1=r2 압축기 전체의 압축비 = r1*r2 = Pn/Ps = r = 상수, r2=r/r1 -------② (3) 전체의 동력= (HP) = (HP1)+(HP)2 =ZRT*k/(k-1) [ {r1^((k-1)/k)-1} + {(r/r1)^((k-1)/k)-1} ] -----③ ③식은 전체 소요 동력을 나타냅니다. (여기서의 k는 단열압축인 경우 isentropic exponent, polytropic 압축인 경우 polytropic exponent가 됩니다. ) 이 값이 최소가 되기위한 r1을 구해보면 됩니다. HP가 최소값이 되려면 HP를 r1에대해 미분한값이 0이 되어야 하므로 d(HP)/d(r1)=0 이 되어야 합니다. 식이 복잡하므로 (k-1)/k = α로 두면 αr1^(α-1) + r^α * (-α) * r1^(-α-1) = 0 양변에 r1^(α+1)/α을 곱하고 정리하면 r1^(2α)=r^α, r1^2= r 따라서 r1= √r, r2= r/(r1) = r/(√r) = √r 즉 2단 압축기의 경우 r1= r2 =√r 이 될 때 BHP가 최소가 됩니다. 일반적으로 n단 압축기의 경우에도 같은 방법으로 풀 수가 있습니다. n단 압축기의 경우, 각 단의 압축비가 r1=r2=...= ri= r^(1/n)가 될 때 최소의 동력이 소요됩니다. 복잡한 것 같지만 압축동력의 수식과 미분식을 이해하면 어려운 문제는 아니지요.

강민철 강민철   39-08-02 00:00 자세한 설명 감사합니다. 자세한 설명 감사합니다.