배병규 배병규   39-08-02 00:00 답변 감사합니다. 문제 풀이가 제 생각만큼 그리 간단하지는 않아 당혹 스럽긴 하지만.. 답변자 님의 도움으로 충분히 이해를 할 수 있을것 같습니다. ^^;; 현장 출동업무에서 현장 조사 업무를 맡아 많이 답답했었는데.. 추후에도 연관 있는 업무에도 참조할수 있는 좋은 자료가 되겟습니다. 다시한번 진심으로 답변에 감사 드립니다. 답변 감사합니다. 문제 풀이가 제 생각만큼 그리 간단하지는 않아 당혹 스럽긴 하지만.. 답변자 님의 도움으로 충분히 이해를 할 수 있을것 같습니다. ^^;; 현장 출동업무에서 현장 조사 업무를 맡아 많이 답답했었는데.. 추후에도 연관 있는 업무에도 참조할수 있는 좋은 자료가 되겟습니다. 다시한번 진심으로 답변에 감사 드립니다.

Stefano Stefano   39-08-02 00:00 (0) 필자는 소방서에서 일하시는 모든 분들을 가장 존경하고 있습니다. 어렸을 적에 우리 집 길건너에 소방서가 있어서 소방관 아저씨들과 친하게 지냈거든요. 사이렌을 울리면 소방모자와 방화복을 입고 빨간 소방차 양 옆에 올라타고 달리던 모습이 지금도 눈에 선합니다.  어린아이들의 눈에는 그게 멋있었는지모르겠으나 소방관들은 이 순간이 가장 긴장되고 긴박한 상황이며 현장에 출동해서는 목숨을 걸고 화마와 싸우는 일이었다는 것을 한참 뒤에 알았습니다.  아마 "공무원중에서 누가 가장 훌륭한가"라는 설문이 있다면 당연 소방관과 119대원일 것입니다. 필자 뿐 만 아니라 모든 한국인들에게는 119구 대원들이 가장 존경스러운 분들입니다.  근무에 힘드시더라도 기운을 내세요. 그리고 항상 건강하고 멋진 모습 보여주세요. (1) 질문하신 내용을 간추리면 <용제가 담긴 용기의 표면에서 용제가 공기중으로 1시간동안 확산해 나갈 때 용기표면으로부터 거리에 따른 농도는 어떻게 되는가?> 라는 <가스분자 확산> 문제입니다.  바람이 불고 있다면 단순히 <확산>되는 것 외에도 <대류현상(Convection)>으로 인해 신선한 바람이 불어내 버린다면 농도는 묽어지게 될 것이므로 바람은 전혀 불고 있지 않다고 가정하여야 하겠지요.. (2) 이 문제는 <Fick＇s의 제2법칙>이라고 하는 조금 복잡한 문제라서 간단한 방법으로는 계산되지 않고 아래의 편미분 방정식을 이용해서 풀어야 합니다.  δC/δt=D δ^2C/δx^2 ................(1) C=성분 농도(g-mol/m3), t=노출시간(h), D=증기의 확산계수(m^2/h), x=액 표면으로부터의 거리(m) 식은 간단하지만 일정거리(x)에서 시간(x)에서의 농도(C)를 구해야 하는 변수가 C,t,x 3개인 편미분 방정식입니다. 농도는 C(x,t)와 같이 두개의 변수로 나타내야 합니다. 액 표면(x=0)에서의 농도는 시간에 관계없이 항상 용제의 포화증기농도가 될 것이므로 표면에서의 농도:  C(0,t) = Cs .........(2) 뚜껑을 연 초기(t=0)에는 거리에 관계없이 모두 농도가 0일 것이므로 공기 노출 초기의 농도:  C(x,0) = 0.....(3) (3) 위에서 (1)은 편미분 방정식이고 이를 푸는 문제인데 식 (2),식(3)을 경계조건(Boundary Condition)이라고 하며 이 경계조건을 이용해서 방정식을 풀면 됩니다. 이 형태의 편미분 방정식은 물질이동 뿐만 아니라 열전달에서 흔히 나타나는 문제이기 때문에 공업수학 관련 서적에서 대부분 찾아 볼 수 있고 주변에서 수학을 잘하시는 분으로부터 도움을 받으셔도 됩니다. (4) 여기서는 결과식만을 올려놓도록 하겠습니다. (C는 Xylene 또는 다른 솔벤트의 농도이므로 같이 적용할 수가 있습니다. Cs값과 D값만 용제에 따라 다릅니다.) C(x,t) = Cs* [ 1 - (2/√π)∫ {(t= 0 ~ x/(2√(Dt))까지 적분) exp(-t^2)*dt} ] ....................(4) 여기서 exp(-t^2)는  e^(-t^2)를 나타낸 것입니다. (5) 아직 적분하는 문제가 남아 있는데 이부분을 따로 써보면  (2/√π)∫ {(t= 0 ~ x/(2√(Dt))까지 적분) exp(-t^2)*dt}가 되는데 이는 쉽게 적분할 수 없습니다. 결국 <Error Function>이라는 Table을 이용해서 적분값을 찾아내야 합니다. ∫ {(t= 0 ~ x/(2√(Dt))까지 적분) exp(-t^2)*dt =∫ {(t= 0 ~ X 까지 적분) exp(-t^2)*dt  ..........(5) 위 수식(5)는 복잡하므로 X = x/(2√Dt).............(6)로 간단히 나타낸 것 뿐입니다. x,D,t를 알면 X는 (6)식으로 계산하면 됩니다. (6) Erron Function(ERF 함수)의 적분값은 -∞ ~ Z 까지 적분한 값을 표에서 나타내고 있습니다. erf(Z)의 적분 정의식은  erf(Z)=∫ {(t= -∞ ~ Z 까지 적분) exp(-t^2)*dt  ....(7) (7)위의 (7)식을 이용해서 0~X 까지 적분한값을 구하려면 부분적분의 원리를 이용해야 합니다. 즉 (-∞~X까지 ERF함수 적분한값) = (-∞~0 까지 ERF함수 적분한값) + (0 ~ X 까지 ERF함수 적분한값) 이를 아래와 같이 나타내면 Erf(-∞~X) = Erf(-∞~0) + Erf(0~X) 따라서 Erf(0~X) = Erf(-∞~X) - Erf(-∞~0).........(8) (8)여기서 잠깐 숨을 돌리고 Error Function 적분 Table을 찾아보도록합니다. Table을 찾아보면 erf(0) = 0.5 .......여기서는 Erf(-∞~0)로 표현한 값 erf(0.5)=0.6915 erf(0.75)=0.7734 erf(1)=0.8413 erf(2)=0.9772 ... erf(∞)=1 (9) 위의 Error Function은 통계학에서도 많이 사용됩니다. 앞서 설명한 (8)식을 이용해서  Erf(0~X)값을 구하려면 만일 X = 0.77이라고 하면 erf(0.77)=Erf(-∞~0.77)=0.7794 eff(0.00)=Erf(-∞~0)=0.5000 따라서 Erf(0~0.77)=erf(0.77)-erf(0.00)=0.7794-0.5000 = 0.2794 (10) 이제 문제로 돌아가서 X=0.77일 경우라면 C(x,t)=Cs*[ 1-0.2794 ] = 0.7206 Cs .............(9) 와 같이 계산하면 됩니다. (11) D와 x와 t중에서 거리(m)와 시간(t)를 임의로 정하면 되는데 D값이 문제입니다.  필자도 D값을 가지고 있지 않아서 실제의 계산을 해드리지 못합니다. 이미 D값을 알고 계시다면 위의 방법을 그대로 따라서 계산해 보세요.  (12) 만일 x의 거리에서 t 시간에 신너의 폭발(연소)범위에 있다고 하면 어떤 점화원 (예를들어 정전기, 스파크, 등)에 의해 증기가 인화될 수 있을 것입니다. 바람이 분다면 농도가 묽어지지만 시간이 더 지나 엉뚱한 곳에서 불이 인화될 수 있을 것이고 용제의 농도가 너무 진한 경우에도 인화는 되지 않는다는 것에 유의해야 하겠지요. 도움이 되었기를 진심으로 바랍니다.    (0) 필자는 소방서에서 일하시는 모든 분들을 가장 존경하고 있습니다. 어렸을 적에 우리 집 길건너에 소방서가 있어서 소방관 아저씨들과 친하게 지냈거든요. 사이렌을 울리면 소방모자와 방화복을 입고 빨간 소방차 양 옆에 올라타고 달리던 모습이 지금도 눈에 선합니다. 어린아이들의 눈에는 그게 멋있었는지모르겠으나 소방관들은 이 순간이 가장 긴장되고 긴박한 상황이며 현장에 출동해서는 목숨을 걸고 화마와 싸우는 일이었다는 것을 한참 뒤에 알았습니다. 아마 "공무원중에서 누가 가장 훌륭한가"라는 설문이 있다면 당연 소방관과 119대원일 것입니다. 필자 뿐 만 아니라 모든 한국인들에게는 119구 대원들이 가장 존경스러운 분들입니다. 근무에 힘드시더라도 기운을 내세요. 그리고 항상 건강하고 멋진 모습 보여주세요. (1) 질문하신 내용을 간추리면 <용제가 담긴 용기의 표면에서 용제가 공기중으로 1시간동안 확산해 나갈 때 용기표면으로부터 거리에 따른 농도는 어떻게 되는가?> 라는 <가스분자 확산> 문제입니다. 바람이 불고 있다면 단순히 <확산>되는 것 외에도 <대류현상(Convection)>으로 인해 신선한 바람이 불어내 버린다면 농도는 묽어지게 될 것이므로 바람은 전혀 불고 있지 않다고 가정하여야 하겠지요.. (2) 이 문제는 <Fick＇s의 제2법칙>이라고 하는 조금 복잡한 문제라서 간단한 방법으로는 계산되지 않고 아래의 편미분 방정식을 이용해서 풀어야 합니다. δC/δt=D δ^2C/δx^2 ................(1) C=성분 농도(g-mol/m3), t=노출시간(h), D=증기의 확산계수(m^2/h), x=액 표면으로부터의 거리(m) 식은 간단하지만 일정거리(x)에서 시간(x)에서의 농도(C)를 구해야 하는 변수가 C,t,x 3개인 편미분 방정식입니다. 농도는 C(x,t)와 같이 두개의 변수로 나타내야 합니다. 액 표면(x=0)에서의 농도는 시간에 관계없이 항상 용제의 포화증기농도가 될 것이므로 표면에서의 농도: C(0,t) = Cs .........(2) 뚜껑을 연 초기(t=0)에는 거리에 관계없이 모두 농도가 0일 것이므로 공기 노출 초기의 농도: C(x,0) = 0.....(3) (3) 위에서 (1)은 편미분 방정식이고 이를 푸는 문제인데 식 (2),식(3)을 경계조건(Boundary Condition)이라고 하며 이 경계조건을 이용해서 방정식을 풀면 됩니다. 이 형태의 편미분 방정식은 물질이동 뿐만 아니라 열전달에서 흔히 나타나는 문제이기 때문에 공업수학 관련 서적에서 대부분 찾아 볼 수 있고 주변에서 수학을 잘하시는 분으로부터 도움을 받으셔도 됩니다. (4) 여기서는 결과식만을 올려놓도록 하겠습니다. (C는 Xylene 또는 다른 솔벤트의 농도이므로 같이 적용할 수가 있습니다. Cs값과 D값만 용제에 따라 다릅니다.) C(x,t) = Cs* [ 1 - (2/√π)∫ {(t= 0 ~ x/(2√(Dt))까지 적분) exp(-t^2)*dt} ] ....................(4) 여기서 exp(-t^2)는 e^(-t^2)를 나타낸 것입니다. (5) 아직 적분하는 문제가 남아 있는데 이부분을 따로 써보면 (2/√π)∫ {(t= 0 ~ x/(2√(Dt))까지 적분) exp(-t^2)*dt}가 되는데 이는 쉽게 적분할 수 없습니다. 결국 <Error Function>이라는 Table을 이용해서 적분값을 찾아내야 합니다. ∫ {(t= 0 ~ x/(2√(Dt))까지 적분) exp(-t^2)*dt =∫ {(t= 0 ~ X 까지 적분) exp(-t^2)*dt ..........(5) 위 수식(5)는 복잡하므로 X = x/(2√Dt).............(6)로 간단히 나타낸 것 뿐입니다. x,D,t를 알면 X는 (6)식으로 계산하면 됩니다. (6) Erron Function(ERF 함수)의 적분값은 -∞ ~ Z 까지 적분한 값을 표에서 나타내고 있습니다. erf(Z)의 적분 정의식은 erf(Z)=∫ {(t= -∞ ~ Z 까지 적분) exp(-t^2)*dt ....(7) (7)위의 (7)식을 이용해서 0~X 까지 적분한값을 구하려면 부분적분의 원리를 이용해야 합니다. 즉 (-∞~X까지 ERF함수 적분한값) = (-∞~0 까지 ERF함수 적분한값) + (0 ~ X 까지 ERF함수 적분한값) 이를 아래와 같이 나타내면 Erf(-∞~X) = Erf(-∞~0) + Erf(0~X) 따라서 Erf(0~X) = Erf(-∞~X) - Erf(-∞~0).........(8) (8)여기서 잠깐 숨을 돌리고 Error Function 적분 Table을 찾아보도록합니다. Table을 찾아보면 erf(0) = 0.5 .......여기서는 Erf(-∞~0)로 표현한 값 erf(0.5)=0.6915 erf(0.75)=0.7734 erf(1)=0.8413 erf(2)=0.9772 ... erf(∞)=1 (9) 위의 Error Function은 통계학에서도 많이 사용됩니다. 앞서 설명한 (8)식을 이용해서 Erf(0~X)값을 구하려면 만일 X = 0.77이라고 하면 erf(0.77)=Erf(-∞~0.77)=0.7794 eff(0.00)=Erf(-∞~0)=0.5000 따라서 Erf(0~0.77)=erf(0.77)-erf(0.00)=0.7794-0.5000 = 0.2794 (10) 이제 문제로 돌아가서 X=0.77일 경우라면 C(x,t)=Cs*[ 1-0.2794 ] = 0.7206 Cs .............(9) 와 같이 계산하면 됩니다. (11) D와 x와 t중에서 거리(m)와 시간(t)를 임의로 정하면 되는데 D값이 문제입니다. 필자도 D값을 가지고 있지 않아서 실제의 계산을 해드리지 못합니다. 이미 D값을 알고 계시다면 위의 방법을 그대로 따라서 계산해 보세요. (12) 만일 x의 거리에서 t 시간에 신너의 폭발(연소)범위에 있다고 하면 어떤 점화원 (예를들어 정전기, 스파크, 등)에 의해 증기가 인화될 수 있을 것입니다. 바람이 분다면 농도가 묽어지지만 시간이 더 지나 엉뚱한 곳에서 불이 인화될 수 있을 것이고 용제의 농도가 너무 진한 경우에도 인화는 되지 않는다는 것에 유의해야 하겠지요. 도움이 되었기를 진심으로 바랍니다.