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  열전달 관련 질문있습니다
  글쓴이 : 돌원숭이   고유ID : gkxoa     날짜 : 17-06-13 22:41     조회 : 1998    
같은 온도로 균일하게 유지된 두 개의 금속구 A와 B를 일정한 온도로 유지되는 무한 유체 안에 넣었다.
금속구 A의 반경은 금속구 B의 반경의 2배이고, 두 금속구 사이의 거리는 충분히 멀다고 가정한다.
금속구 B의 중심에서의 온도가 어느 특정 온도에 도달하는 데 소요되는 시간이
금속구 A에 비해 2배가 될 때, 금속구 A의 열확산도는 금속구 B의 열확산도의 몇 배인가?
답은 8배 입니다.

비정상상태 에너지전달의 문제를 푸는 문제라고 생각합니다.
그런데 열전도도나 대류열전달 계수가 주어지지 않아서 Biot 수<0.1 인 Lumped sys 가정을 하여 풀었습니다.
그러면 Biot 수와 Fourier 수의 곱을 이용하여 문제를 풀어 2배가 나왔습니다..ㅜㅠ

8배가 나오게끔 풀어보니  Biot 수>0.1 라서 내부저항만을 고려하여 Fourier 수 만을 이용하여
문제를 푸니 8배가 나오긴했습니다.

어떻게 문제 접근을 해야하는지 궁금합니다.



스테파노 Stefano   17-06-14 12:37
(1) 직경과 재질이 서로 다른 두개의 금속구가 무한유체 내에서 내부 Conduction과 외부 Convection에 의해 비정상상태 열이 확산되는 시스템에서 금속구 내의 온도가 균일하다고 보는 경우는 내부 전도저항이 외부대류저항에 비해  (1/10 이하로) 크게 작다(즉 Biot No.가 0.1 이하다)고 보고 해석하는 경우이겠지요. 

(2) 문제는 열확산 비만을 계산하면 되기 때문에,  동일 모델 수식을 사용하되 온도가 변화되는 "시간"과 Biot No에 영향을 주는 "직경"을 고려하여 산출되는 "열확산비" (=α2/α1)만을 구해내면 될 것 같습니다.  1) 표면적 차이만으로는 2배가 되고 2)확산(방출)해야 할 열량으로는 부피와 질량 및 비열의 곱이 될 것이며 3)금속들의 열전도도비 및 4) 표면에서의 대류열전달계수의 영향이 그 비에 영향을 주겠지만 4)의 효과만 동일하고 1)~3)의 요소는 두개의 물질에서 효과가 다르다는 것이지요. 

(3) 여기 자료는 유사한 예로  Sphere가 아닌 Cylinder에 대해 계산한 것이 있습니다.  참고하세요.
http://www.thermalfluidscentral.org/e-resources/download.php?id=34
     
돌원숭이 gkxoa   17-06-14 20:07
스테파노님 답변 감사합니다.

그런데 말씀해주신 1)~3)의 요소가 두 물질에서 효과가 다르다고 하셨는데

금속의 열전도도비는 어떻게 알 수 있습니까??
스테파노 Stefano   17-06-15 11:13
각각의 열전도 (뿐 만 아니라 밀도와 비열도 마찬가지지만)는 알 수 없지만 Thermal Diffusivity속에 스며들어 효과가 나타날 것입니다. 
  Thermal Diffusifity, α ≡ k / (Cp*ρ)  .....(1)

또한 이 Thermal Diffusifity는 Fourier No. 속에 스며들어있습니다.
  Fourier No., Fo ≡ α * t / L^2 ............(2)

따라서 (2) 식에서 Fourier No.의 비, 소요시간의 비, 길이(직경)의 비를 알면 문제에서 요구하는" Thermal Diffusifity의 비"는 구할 수 있습니다.  그러므로 k, Cp,  ρ는 알려져 있지 않아도 풀이가 되겠지요.  실제로 크기만 두배라는 것만 알려져 있을 뿐, 무게, 비열, 열전도도, 등에 관한 정보는 없습니다.

  Ratio,  β ≡ α1/α2  = (Fo1/Fo2) * (t2/t1) * (L1^2/L2^2) ......(3)    <-- k, Cp,  ρ 값 없어도 계산가능, 1=A, 2=B, L = r.
     
돌원숭이 gkxoa   17-06-15 13:57
덕분에 Fourier No 대해서는 이해를 했습니다.

그런데 책을 찾아보니 biot 수 0.1 이하

(T-T무한)/(T0-T무한) = exp(-Bi*Fo) = exp((-h*A*t*α)/(k*V)) 이렇게 나와있고

Biot 수가 0.1 보다 클때

(T-T무한)/(T0-T무한) = Fourier No의 함수 이렇게 나와있습니다.


말씀해주신데로 biot no 0.1 이하라고 보면

온도구배에 영향을 주는 인자가 Fourier No 뿐만 아니라 Biot No 도 영향을 끼친다고 합니다.

그러면 이 문제에서는 시간t, 열확산도α, 열전도도k 이렇게 3개가 영향을 끼치는데

말씀하신데로 열전도도가 열확산도에 스며들어 효과가 나타난다고 하기에는 무리가 있지는 않습니까?
(좌변은 동일하고 우변에 변수중에 k가 α에 포함도 되어있고 따로도 나와있어서 궁금해졌습니다)
스테파노 Stefano   17-06-16 11:16
(0) Biot No.의 물리적 의미가    (내부 고체)전도저항/(외부 유체)대류저항의 비가 되는데 이 값이 적다는 뜻은 내부의 열전도가 빨라서 온도구배(거리에따른 온도차)가 없다는 것으로 즉,  Bi<0.1 이하에서는 (고체내)열전달이 아주 잘 일어나 고체내 온도가 같다고 가정해서 시스템을 해석해도 근사값을 알아내는데 무리가 없다는 뜻입니다.

(1)교과서를 인용한 질문에서,  Bi<0.1인 경우에는 금속 Ball의 온도는 중심부나 표면이 같다고 가정하고 푼경우라서  (T-T∞)/(To-T∞)가 (Bi*Fo)의 곱의 함수로 계산할 수 있다고 했는데 이 경우가 고체내부의 온도는 열전도도와 관련없고 내부 온도는 균일하다고 볼 수 있는 경우에 해당합니다. 

실제로 Bi*Fo의 값을 계산해 보면:    Bi*Fo= (h*L/k)*(α*t/L^2) =  (h*L/k)*(k/Cp/ρ)*t/L^2)=(h*t)/(Cp*ρ*L) .......(4)

예상한대로 이 식에서 k값은 들어있지 않지요.  그러나 공의 온도를 변화시키는데 소요되는 시간 t에 영향을 주는 요소에는 h, Cp, ρ, L이 있습니다. 

(이전 답글에서 L = r이라고 설명했었는데 찾아보니  L ≡ V/A로 되어 있습니다.  Ball이라면 L=V/A =(4π/3)r^3/(4π r*2)= r/3이 되어야 맞습니다.  L1/L2의 비율에는 관계없지요)   

(2) Bi>0.1인 경우라면 질문에서 인용한 것처럼 Fo No.의 함수로 시간에 따른 온도변화 커브를 따르겠지요.  이 때에는 (4)식과는 달리 분모에 L^2항이 사용되는데 이의 의미가 깊이에 따라 온도차가 더 커진다는 것을 의미합니다.
     
돌원숭이 gkxoa   17-06-16 16:22
그렇다면 결국 (4)의 식을 이용해서 풀면 답이 나온다는 뜻인데

저 식을 이용해서 계산을 하면 열확산도가 4배로 나옵니다...ㅜㅠ

혹시 답이 나올 수 있게 풀이식을 써 주실 수 있습니까??

계속 질문드려서 죄송합니다..
스테파노 Stefano   17-06-19 09:51
(4)식으로 계산한 값은  자체가 (T-T∞)/(To-T∞)의 결과값을 보여주는 것이 아니고  이 합수값을 나타내는 독립변수값으로서의 또다른 무차원 수에 해당합니다. 

따라서  (T-T∞)/(To-T∞)의 비를  [(h*L/k)*(α*t/L^2] 의 함수로 나타낸 다음, 이로부터 t값의 비가 2가 되었을 때 이로부터 α1/α2를 구하는 식으로 정리해 보도록 직접해 보세요.  교육상 여기서 문제풀이 해줄 수는 없습니다.
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