게시판 > 질답게시판 > 액체부피팽창압력

스테파노 Stefano

07-09-11 19:38

(1) 용기벽이 아주 두꺼운 경우:

계산된 방법은 용기가 변형되지 않는다는 가정, 즉 아주 아주 두꺼운 용기일 경우에 계산하는 방법입니다.
이 경우 계산 원리는 증가된 부피를 원래의 부피대로 유지하기 위해서 압축해 주어야 할 압력을 계산하는 방법입니다.

B = dP/(dV/V) ==> dP = B*(dV/V) = (1/c)*(dV/V)..................(1)

B: Bulk Modulus of Liquid = 1/Compressibility of Liquid = 1/c
물의 Bulk Modulus = 2.2 * (10^9) N/m2 이므로 Compressibility는 4.545 (10-10) (Pa)^(-1)이 됩니다.
이 값을 (1)식에 넣어주면

dP = 2.2(10^9) N/m2 * (217/8000) = 59.695 (10^6) Pa = 59.695 MPa = 608.72 kgf/cm2
dP = 1/(4.54545(10^-10 Pa^-1)*(217/8000) = 59.695 (10^6) Pa =608.72 kgf/cm2

질문에서 인용한 계산에서 물의 압축률이 잘못되었습니다.

압축률, c = (부피증가율)/(압축압력) = (dV/V)/dP = (1/V)(dV/dP)...................(2)

(2) 용기가 변형될 수 있는 경우:

이 경우는 액체의 팽창에 의해 용기벽에 압력이 전해져서 용기가 (탄성)변형을 일으키고 있다고 할 때의 계산 방법입니다. 위의 (1)의 경우와는 달리 용기벽의 응력과 액체가 압축되면서 나타내는 Strain이 평형을 이루고 있을 때의 액체가 나타내는 압력을 구합니다.

용기가 "소성변형"을 일으키면 용기가 풍선처럼 늘어나 버리기 때문에 액체의 압력이 높지 않습니다. 용기가 부풀어 오르기 전에는 압력이 높아지지만 재료가 견디는 Yield Strength에 이른 후에는 재료응력과 액체의 압력이 크게 떨어져 버립니다 .

실제로 용기의 벽이 아주아주 두꺼운 경우가 거의 없고, 용기가 변형을 일으키기 이전에 가장 취약한 부분이 터져버리기 때문에 가장 취약한 부분에서 (응력을 나타내면서) 견디는 최대의 압력을 구해야 됩니다.

배관의 경우 같은 압력이 걸린다고 해도 원주(원둘레)방향의 응력은 축(길이)방향의 응력의 2배가 됩니다. 압축을 하면 관이 길이방향으로 파손되는 이유는 바로 이것입니다. 따라서 원주방향으로 (소성변형이 일어나지 않는 범위에서) 재료에 걸리는 응력을 기준으로 액체의 압력을 계산하면 됩니다.

두께(t)의 Cylinder 형태의 용기내부에 압력(P)가 가해졌을 때 걸리는 응력은 각각,

원주방향으로 걸리는 응력: (σ)원주방향 = P*D/(2 t)............................(3)
축방향으로 걸리는 응력: (σ)축방향 = P*D/(4 t)...............................(4)

한편 변형율과 응력과의 관계는

(Strain, 변형률, ΔL/L) = (재료에 걸리는 응력, σ)/(재료의 Young Modulus, E).............................(5)

위의 (5)식에서의 L은 원주방향의 길이라고 보고 액체의 용적증가에 따른 원주길이의 비 (π ΔD/π D)로 대체하여 계산하면 되고 이 변형률식과 (3)식, 및 (1)식 또는 (2)식과 결합하여 압력 P를 계산해 낼 수 있습니다. 축방향은 원주방향에 비해 두배나 더 견딜 수 있으므로 (4)식은 무시합니다 .

이미 소개한 게시판의 글에도 계산 방법을 소개한 일이 있습니다. 이들로 부터 재료가 탄성변형을 일으킨다고 가정하고 압력을 구해서 답글로 올려주세요.

(1) 용기벽이 아주 두꺼운 경우:

계산된 방법은 용기가 변형되지 않는다는 가정, 즉 아주 아주 두꺼운 용기일 경우에 계산하는 방법입니다.
이 경우 계산 원리는 증가된 부피를 원래의 부피대로 유지하기 위해서 압축해 주어야 할 압력을 계산하는 방법입니다.

B = dP/(dV/V) ==>  dP = B*(dV/V) = (1/c)*(dV/V)..................(1)

B: Bulk Modulus of Liquid = 1/Compressibility of Liquid = 1/c
물의 Bulk Modulus = 2.2 * (10^9) N/m2 이므로 Compressibility는 4.545 (10-10) (Pa)^(-1)이 됩니다. 
이 값을 (1)식에 넣어주면

dP = 2.2(10^9) N/m2 * (217/8000) = 59.695 (10^6) Pa = 59.695 MPa =  608.72 kgf/cm2
dP = 1/(4.54545(10^-10 Pa^-1)*(217/8000) = 59.695 (10^6) Pa  =608.72 kgf/cm2

질문에서 인용한 계산에서 물의 압축률이 잘못되었습니다.

압축률, c = (부피증가율)/(압축압력) = (dV/V)/dP = (1/V)(dV/dP)...................(2)

(2) 용기가 변형될 수 있는 경우:

이 경우는 액체의 팽창에 의해 용기벽에 압력이 전해져서 용기가 (탄성)변형을 일으키고 있다고 할 때의 계산 방법입니다.   위의 (1)의 경우와는 달리 용기벽의 응력과 액체가 압축되면서 나타내는 Strain이 평형을 이루고 있을 때의 액체가 나타내는 압력을 구합니다.

용기가 "소성변형"을 일으키면 용기가 풍선처럼 늘어나 버리기 때문에 액체의 압력이 높지 않습니다.  용기가 부풀어 오르기 전에는 압력이 높아지지만 재료가 견디는 Yield Strength에 이른 후에는 재료응력과 액체의 압력이 크게 떨어져 버립니다 .
  
실제로 용기의 벽이 아주아주 두꺼운 경우가 거의 없고, 용기가 변형을 일으키기 이전에 가장 취약한 부분이 터져버리기 때문에 가장 취약한 부분에서 (응력을 나타내면서) 견디는 최대의 압력을 구해야 됩니다.

배관의 경우 같은 압력이 걸린다고 해도 원주(원둘레)방향의 응력은 축(길이)방향의 응력의 2배가 됩니다.  압축을 하면 관이 길이방향으로 파손되는 이유는 바로 이것입니다.  따라서 원주방향으로 (소성변형이 일어나지 않는 범위에서) 재료에 걸리는 응력을 기준으로 액체의 압력을 계산하면 됩니다.

두께(t)의 Cylinder 형태의 용기내부에 압력(P)가 가해졌을 때 걸리는 응력은 각각,

원주방향으로 걸리는 응력:  (σ)원주방향 = P*D/(2 t)............................(3)
축방향으로 걸리는 응력:     (σ)축방향 = P*D/(4 t)...............................(4)

한편 변형율과 응력과의 관계는

(Strain, 변형률, ΔL/L) = (재료에 걸리는 응력, σ)/(재료의 Young Modulus, E).............................(5)

위의 (5)식에서의 L은 원주방향의 길이라고 보고 액체의 용적증가에 따른 원주길이의 비 (π ΔD/π D)로 대체하여 계산하면 되고 이 변형률식과  (3)식,  및  (1)식 또는 (2)식과 결합하여 압력 P를 계산해 낼 수 있습니다.   축방향은 원주방향에 비해 두배나 더 견딜 수 있으므로 (4)식은 무시합니다 .

이미 소개한 게시판의 글에도 계산 방법을 소개한 일이 있습니다.  이들로 부터 재료가 탄성변형을 일으킨다고 가정하고 압력을 구해서 답글로 올려주세요.

다윗 david1207

07-09-13 14:05

Fluid=water
Closed Pipe=304ss, 50A, Sch.5S, 50 m

Do=0.05 m
L=50 m
t=0.00165
V0=0.05^2*pi/4=0.00196 m3
E=1.931*10^6 kgf/cm2
Vo/V=8000/8217
= 0.9736

(1) 원주방향응력(σ)=배관압력힘, 으로부터
σ=PD/2t

(2) (D/Do)^2=V/Vo 로부터
D=0.05067

(3) e(변형률)=(D-Do)/D= 0.0134

(4) e=PD/2tE 로부터
P=0.0134*(2*0.00165*1.931*10^6)/0.05067
=1685.19 kgf/cm2

(5) σ=PD/2t 에서
= 1685.19*0.05067/(2*0.00165)
= 25875.33 kgf/cm2

해석해보면, 밀폐된 50A배관속에 물을 20도에서 80도로 가열할 때,
> 배관직경은; 50mm에서 50.67mm로 1.34% 늘어나고,
> 배관의 압력은 1,685 kgf/cm2 이며,
> 304ss 배관의 원주방향응력은 25,875 kgf/cm2 이라는 얘긴데..
그럼, 변형은 생기되 파손은 안된다는 얘긴가요?

스테파노 Stefano

07-09-13 17:59

(0) 결론부터이야기 하면 재료가 "소성"변형되어 액이 팽창하고 나면 압력이 더 올라가지 않습니다. 그리고 소성변형이 되었다고 하면 관이 파손되지 않았다고 하더라도 재료가 언제든 파괴될 수가 있다고 보면 됩니다. 이런 응력을 받는 관에 추가로 힘을 가하거나 일부분을 가열하면 취약해진 부분에서 실제로 파열이 일어나게 될 것입니다.

(1) 재료의 Tensile Stress 범위 내에서 변형되면 압력이 떨어지면 원래의 용기 모양으로 돌아옵니다. 이 범위내에서의 변형을 탄성변형이라고 합니다.
그러나 Yield Stress를 벗어나는 응력이 걸리는 경우 용기가 변형이 일어나게 됩니다. 이 때의 변형은 소성변형이고 해서
용기가 원래모양으로 돌아오지 않습니다.

공학적으로 배관의 설계시 사옹온도에서 재료의 (Standard 혹은 Code상) 허용응력 범위이상의 응력이 걸리지 않도록 합니다. 질문에서 "파손"이 파열을 의미하는 것으로 봅니다. 액체 팽창시 대개 위의 계산처럼 관이 확장되고 마는 것이 아니고 취약한 Flange Gasket 등의 부위에서 먼저 파손이 일어나고 파손이 일어나 액이 약간만이라도 분출되고 나면 압력은 크게 떨어져 버립니다.

공학적으로는 배관의 변형이 일어나는 경우 이를 파손으로 간주합니다. 왜냐하면 (1)재료가 다른 응력(굽힘, 인장, 압축, 열적, 혹은 이들의 중첩과 응력의 반복등)에 의해 국부적으로 응력이 크게 얼릴 수 있고 (2) 일정한 시간동안 사용도중 부식될 경우도 있으며 (3)오랜시간 하중에 노출될 경우 재료의 피로현상도 나타날 뿐더러 (4) 화재 등으로 인하여 사용온도가 높아질 수도 있고 (5)어느정도 안전율을 가지고 있어야 안전하다고 간주되기 때문입니다.

(2) 액팽창은 조그만 Relief Valve 하나만 부착하거나 용기내에 약간의 기상의 공간을 마련해둠으로써 위에서 계산한 정도의 압력이 나타나는 것을 회피할 수 있기 때문에 실제로 재료가 파손되지 않고 견딜 수 있다고 하더라도 억지로 액팽창에 의한 위험에 노출시킬 필요가 없습니다.

(3) Piping 자체만으로 보면 소성변형으로 압력을 흡수하고 스스로 Yielding 되면서 응력이 높게 나타나지 않지만 계산된 압력이라면 주물로 된 밸브나 펌프, 등은 아마 이미 파손되었을 것입니다.

(0) 결론부터이야기 하면 재료가 "소성"변형되어 액이 팽창하고 나면 압력이 더 올라가지 않습니다. 그리고 소성변형이 되었다고 하면 관이 파손되지 않았다고 하더라도 재료가 언제든 파괴될 수가 있다고 보면 됩니다.  이런 응력을 받는 관에 추가로 힘을 가하거나 일부분을 가열하면 취약해진 부분에서 실제로 파열이 일어나게 될 것입니다.

(1) 재료의 Tensile Stress 범위 내에서 변형되면 압력이 떨어지면 원래의 용기 모양으로 돌아옵니다. 이 범위내에서의 변형을 탄성변형이라고 합니다. 
그러나 Yield Stress를 벗어나는 응력이 걸리는 경우 용기가 변형이 일어나게 됩니다. 이 때의 변형은 소성변형이고 해서 
용기가 원래모양으로 돌아오지 않습니다.

공학적으로 배관의 설계시 사옹온도에서 재료의 (Standard 혹은 Code상) 허용응력 범위이상의 응력이 걸리지 않도록 합니다.  질문에서 "파손"이  파열을 의미하는 것으로 봅니다.  액체 팽창시 대개 위의 계산처럼 관이 확장되고 마는 것이 아니고 취약한 Flange Gasket 등의 부위에서 먼저 파손이 일어나고 파손이 일어나 액이 약간만이라도 분출되고 나면 압력은 크게 떨어져 버립니다.

공학적으로는 배관의 변형이 일어나는 경우 이를 파손으로 간주합니다.  왜냐하면 (1)재료가 다른 응력(굽힘, 인장, 압축, 열적, 혹은 이들의 중첩과 응력의 반복등)에 의해 국부적으로 응력이 크게 얼릴 수 있고 (2) 일정한 시간동안 사용도중 부식될 경우도 있으며 (3)오랜시간 하중에 노출될 경우 재료의 피로현상도 나타날 뿐더러 (4) 화재 등으로 인하여 사용온도가 높아질 수도 있고 (5)어느정도 안전율을 가지고 있어야 안전하다고 간주되기 때문입니다.

(2) 액팽창은 조그만 Relief Valve 하나만 부착하거나 용기내에 약간의 기상의 공간을 마련해둠으로써 위에서 계산한 정도의 압력이 나타나는 것을 회피할 수 있기 때문에 실제로 재료가 파손되지 않고 견딜 수 있다고 하더라도 억지로 액팽창에 의한 위험에 노출시킬 필요가 없습니다.

(3) Piping 자체만으로 보면 소성변형으로 압력을 흡수하고 스스로 Yielding 되면서 응력이 높게 나타나지 않지만 계산된 압력이라면 주물로 된 밸브나 펌프, 등은 아마 이미 파손되었을 것입니다.

다윗 david1207

07-09-14 15:50

감사 합니다.
Copper tracing or Jacketed 배관내 Pressure Relief vlave를 설치하는데, setting 압력때문에 궁금해서 시작한 내용이었습니다.

두가지만 추가질문하겠습니다.

1) 내용중에서 용기벽이 충분히 견디는 경우 압축해 주어야 할 압력계산값과, 용기가 변형될 수 있는 경우 계산한 압력값이 왜 다른지 그리구 후자의 경우가 더 큰 값을 가지는 이유가 무었인지 궁금합니다.

2) 물의 경우 B값은 쉽게 찾을 수 있지만, 여러화학물질의 B값은 찾기가 어려운데 어떻게 해야 하는지..

알고 싶습니다.

스테파노 Stefano

07-09-15 00:30

(1) Bulk Modulus에 의해 계산된 방법은 용기의 직경이나 두께와는 관계없는 경우이지만
질문의 경우와 같은 배관경과 두께에서는 후자의 경우가 더 높게 계산되는 군요.
점검해 본 결과 일정한 t/D값 이상의 관 두께를 가지면 후자의 경우가 높게 나타나게 되는 것 같습니다.

두가지의 압력 계산 방법을 다시 점검해 보기로 하지요. Pipe에서의 두번째 방법이 틀려 있었던 것 같습니다. 부피변화율과 원주길이 변화율의 환산에 착오로 보입니다 .

(2) 상승 압력계산

<계산기준>
초기압력은 무시, 물의 Bulk Modulus B = 2.2 *10^9 Pa
용기직경 D=0.05 m, 용기두께 t=0.00165m; 용기의 Young Modulus of Steel, E= 200(10^9) N/m2
20도에서의 물의 비용적=1.001 72 80도에서의 물의 비용적=1.029 19 L/kg

20도-->80도 온도 변화 시 부피증가율 = dV/V=(1.02919-1.00172)/(1.00172) =0.027423.

(i)용기부피불변의 경우:
(모든 부피증가를 액체의 전뱡향에서 압력을 가해서 흡수하도록 하는 경우)
dP = B* (dV/V) = 2.2 (10^9 N/m2) * (0.027423, 단위없음) = 60.33 MPa = 615.20 kgf/cm2.......(A)

(ii)관벽두께가 직경에 비해 아주 작은 파이프와 같은 실린더의 경우 직경방향으로 늘어날 수 있다고 보는 경우
(전체의 부피증가중 일부는 액체의 압력에 의해 용기부피에 응력을 나타내면서 용기 부피가 늘어나고
나머지는 액체가 응력으로 흡수된다고 간주하는 경우)

부피 변화 V1-->V2
V1=(π/4)D1^2*L = v1*M, V2=(π/4)D2^2*L=v2*M ; v1,v2=Specific Volumes(밀도의 역수) at State 1, 2; M=Mass

(V2/V1)=(v2/v1) = (D2/D1)^2 D2/D1 = (V2/V1)^(1/2 = (v2/v1)^ (1/2).............(1)
실린더형 용기의 원주방향 변형률: dℓ/ℓ =(πD2- πD1)/(πD1) = (D2/D1)-1...........(2)
원주방향 변형률과 응력과의 관계: dℓ/ℓ =(σ)circ/(Young Modulus, E)..............(3)
용기내 압력(증가)과 원주방향 응력과의 관계: (σ)circ =dP*D/2t ........................(4)

따라서 용기내 압력(P)을 증가시킴으로써 원주방향으로 응력((σ)circ)이 발생시켜 원주방향 길이의 변형률(dℓ/ℓ)
이 되도록 하기위한 용기내 압력(P)을 구하려면 위의 수식 (1)~(4)식을 모두 결합하면 됨..

(4)식&(3)식 -->
dP = (2t/D)*(σ)circ = (2t/D)*[(dℓ/ℓ)*E].......................................................................(5)

(5)식,(2)식&(1)식 -->
dP = (2t/D)*E*[(D2/D1)-1]= (2t/D)*E*[(v2/v1)^(1/2)-1]...........................................(6)

위의 (6)식에 질문에서 사용한 값들을 대입하면
dP = 2*(0.00165m)/(0.05 m)*(200*(10^9) N/m2)*[(1.02912/1.00172)^0.5 - 1]
= 179.312 (10^6) N/m2 or 1828.5 kgf/cm2

(3) 용기의 변형이 3차원방향으로 일어나는 경우,

즉 球形 모양의 용기인 경우 용기벽에 거리는 응력은 Pipe에서의 축방향 응력과 같습니다.
관벽 두께와 직경이 위의 배관직경과 관두께와 같은 Ball에서 용적이 늘어날 수 있다고 볼 때 걸리는 압력은

dP = (4t/D)*E*[(D2/D1)-1]= (4t/D)*E*[(v2/v1)^(1/3)-1] ......(7)
= 4*(0.00165m)/(0.05 m)*(200*(10^9) N/m2)*[(1.02912/1.00172)^(1/3) - 1] = 238.54 (10^6)N/m2 or 2432.4 kgf/cm2

3차원변형이 용기부피와 같아질 때의 D/t의 Ratio는 (A)식과 (7)식을 같다고 놓고 D/t 값을 구하면 됩니다.
(4t/D)*E*[(D2/D1)-1]= (4t/D)*E*[(v2/v1)^(1/3)-1] = B* (dV/V) = B [ (v2/v1) - 1 ]

(t/D) = (1/4) (B/E)*[(v2/v1)^(1/3)-1]/[ (v2/v1) - 1 ]/[(v2/v1)^(1/3)-1]..........(8)

"위의 (8)식으로 구한 t/D Ratio가 되면 Ball 형태의 용기에서는 첫번째 방법과 두번째 방법으로 계산된 압력은 같아지고
이 t/D 값이 크면 두번째 방법으로 구한 압력이 크고 그렇지 않으면 첫번째 방법이 더 큰 압력을 나타내게 되는 것 같습니다.

재질문으로 다시 검토해 보니 위의 (8)식의 결과를 알 수 있게 되었습니다.
마찬가지로 첫 질문에 대해서도 배관에서 t/D 값이 엄밀하게 어느 값 이상이면 두번째 방법이 더 큰 압력을 나타내는 결과를 얻을 수 있을 것 같습니다.

첫 질문에 답이 되었겠지요?

(4) 물 이외의 B값은 물리핸드북, 유압기기 핸드북, CRC핸드북 등에서 구할 수 있습니다.

(1) Bulk Modulus에 의해 계산된 방법은 용기의 직경이나 두께와는 관계없는 경우이지만
질문의 경우와 같은 배관경과 두께에서는 후자의 경우가 더 높게 계산되는 군요. 
점검해 본 결과 일정한 t/D값 이상의 관 두께를 가지면 후자의 경우가 높게 나타나게 되는 것 같습니다.

두가지의 압력 계산 방법을 다시 점검해 보기로 하지요.  Pipe에서의 두번째 방법이 틀려 있었던 것 같습니다.  부피변화율과 원주길이 변화율의 환산에 착오로 보입니다 .

(2) 상승 압력계산

<계산기준>
초기압력은 무시, 물의 Bulk Modulus B = 2.2 *10^9 Pa
용기직경 D=0.05 m, 용기두께 t=0.00165m; 용기의 Young Modulus of Steel, E= 200(10^9) N/m2
20도에서의 물의 비용적=1.001 72   80도에서의 물의 비용적=1.029 19  L/kg

20도-->80도 온도 변화 시 부피증가율 = dV/V=(1.02919-1.00172)/(1.00172) =0.027423.

(i)용기부피불변의 경우:
(모든 부피증가를 액체의 전뱡향에서 압력을 가해서 흡수하도록 하는 경우)  
dP = B* (dV/V) = 2.2 (10^9  N/m2) * (0.027423, 단위없음) = 60.33 MPa = 615.20 kgf/cm2.......(A)

(ii)관벽두께가 직경에 비해 아주 작은 파이프와 같은 실린더의 경우 직경방향으로 늘어날 수 있다고 보는 경우 
(전체의 부피증가중 일부는 액체의 압력에 의해 용기부피에 응력을 나타내면서 용기 부피가 늘어나고 
나머지는 액체가 응력으로 흡수된다고 간주하는 경우)
 
부피 변화 V1-->V2
V1=(π/4)D1^2*L = v1*M,  V2=(π/4)D2^2*L=v2*M ;  v1,v2=Specific Volumes(밀도의 역수) at  State 1, 2; M=Mass

(V2/V1)=(v2/v1) = (D2/D1)^2    D2/D1 = (V2/V1)^(1/2 =  (v2/v1)^ (1/2).............(1) 
실린더형 용기의 원주방향 변형률: dℓ/ℓ =(πD2- πD1)/(πD1) = (D2/D1)-1...........(2)
원주방향 변형률과 응력과의 관계:   dℓ/ℓ =(σ)circ/(Young Modulus, E)..............(3)
용기내 압력(증가)과 원주방향 응력과의 관계: (σ)circ =dP*D/2t ........................(4)

따라서 용기내 압력(P)을 증가시킴으로써 원주방향으로 응력((σ)circ)이 발생시켜 원주방향 길이의 변형률(dℓ/ℓ)
이 되도록 하기위한 용기내 압력(P)을 구하려면 위의 수식 (1)~(4)식을 모두 결합하면 됨..

(4)식&(3)식 --> 
dP = (2t/D)*(σ)circ = (2t/D)*[(dℓ/ℓ)*E].......................................................................(5)

(5)식,(2)식&(1)식 --> 
dP = (2t/D)*E*[(D2/D1)-1]= (2t/D)*E*[(v2/v1)^(1/2)-1]...........................................(6)

위의 (6)식에 질문에서 사용한 값들을 대입하면 
dP = 2*(0.00165m)/(0.05 m)*(200*(10^9) N/m2)*[(1.02912/1.00172)^0.5 - 1] 
= 179.312 (10^6) N/m2  or  1828.5 kgf/cm2

(3) 용기의 변형이 3차원방향으로 일어나는 경우, 
 
즉 球形 모양의 용기인 경우 용기벽에 거리는 응력은 Pipe에서의 축방향 응력과 같습니다.
관벽 두께와 직경이 위의 배관직경과 관두께와 같은 Ball에서 용적이 늘어날 수 있다고 볼 때 걸리는 압력은

dP = (4t/D)*E*[(D2/D1)-1]= (4t/D)*E*[(v2/v1)^(1/3)-1] ......(7) 
= 4*(0.00165m)/(0.05 m)*(200*(10^9) N/m2)*[(1.02912/1.00172)^(1/3) - 1] = 238.54 (10^6)N/m2 or  2432.4 kgf/cm2

3차원변형이 용기부피와 같아질 때의 D/t의 Ratio는 (A)식과 (7)식을 같다고 놓고 D/t 값을 구하면 됩니다. 
 (4t/D)*E*[(D2/D1)-1]= (4t/D)*E*[(v2/v1)^(1/3)-1] = B* (dV/V) = B [ (v2/v1) - 1 ]

(t/D) = (1/4) (B/E)*[(v2/v1)^(1/3)-1]/[ (v2/v1) - 1 ]/[(v2/v1)^(1/3)-1]..........(8)

"위의 (8)식으로 구한 t/D Ratio가 되면  Ball 형태의 용기에서는 첫번째 방법과 두번째 방법으로 계산된 압력은 같아지고 
이 t/D 값이 크면 두번째 방법으로 구한 압력이 크고 그렇지 않으면 첫번째 방법이 더 큰 압력을 나타내게 되는 것 같습니다.

재질문으로 다시 검토해 보니 위의 (8)식의 결과를 알 수 있게 되었습니다. 
마찬가지로 첫 질문에 대해서도 배관에서 t/D 값이 엄밀하게 어느 값 이상이면 두번째 방법이 더 큰 압력을 나타내는 결과를 얻을 수 있을 것 같습니다.

첫 질문에 답이 되었겠지요?

(4) 물 이외의 B값은 물리핸드북, 유압기기 핸드북, CRC핸드북 등에서 구할 수 있습니다.

다윗 david1207

07-09-17 14:53

감사합니다.
위 식 (8)에서 앞에 ^(1/3)는 빠져야 할 것 같습니다.

그런데,,

(1) "위의 (8)식으로 구한 t/D Ratio가 되면 Ball 형태의 용기에서는 첫번째 방법과 두번째 방법으로 계산된 압력은 같아지고 이 t/D 값이 크면.."에서

" t/D Ratio가 되면 (뭐가?), t/D값이 크면 (무엇보다?) "를 이해못했습니다.

(2) 식(8)로 t값을 구해보았더니 0.0004 m 가 나왔습니다.
이값의 의미가 4 mm 두께의 ball tank는 부피압 615.20 kgf/cm2를 흡수할 수 있다는 의미입니까?

(3) 제 이해력이 떨어지는지 자꾸 질문하게 되어 죄송스럽습니다.
이해가 다 되면, 워드와 엑셀로 정리하여 올리겠습니다.

최민수.

스테파노 Stefano

07-09-17 23:47

(1)마지막 식 (8)에서 뒷부분 말고 앞부분에서 [(v2/v1)^(1/3)-1]/부분이 몽땅 빠져야 맞습니다. 분모의에 들어있는 (1/3)은 맞습니다. Typing하기 귀찮아 Drag & Drop 하면서 잘못되었습니다.

(t/D) = (1/4) (B/E)*[(v2/v1)-1]/[(v2/v1)^(1/3)-1]..........(8)

(2) 앞에서 나온 수식에서 짐작할 수 있었겠지만 t의 절대값이 중요한 것이 아닙니다. 압력이 작용되는 용기의 직경이 얼마가 되느냐에 더 큰 영향을 받습니다.

원래 (5)식이나 (7)식들은 두께가 직경에 비해 작다는 것을 가정에 두고 유도된 것입니다. 따라서 직경이 작고 두께가 두꺼운 식은 그 식을 적용하는데 무리가 있습니다.

필자가 언급하기를 t/D 값이 크다는 의미는 직경에 비해 두께가 두꺼운 경우를 의미합니다. t값이 아무리 작다고 해도 직경이 작은 경우에는 상당히 큰 압력에 견딜 수가 있습니다. 알미늄 캔에 들어있는 맥주는 압력을 견딜 수 있지만 커다란 용기에서 캔의 뚜께를 가졌다면 약간의 압력으로도 터질 수 있습니다. t/D 값이 (8)식으로 구한값을 기준으로 하고 있습니다.

그때의 t/D보다 큰 경우 어느 방법이 압력이 더 걸리는 가를 알아보려면 (8)식 대신 부등식으로 놓고 풀면 됩니다.

(4t/D)*E*[(v2/v1)^(1/3)-1] <= B [ (v2/v1) - 1 ] 이 수식은 Bulk Modulus로 구한 부피가 변할 수 있는 계에세보다 압력이 클 조건을 구하는 수식입니다.

t/D <= (B/E) [ (v2/v1) - 1 ]/*[(v2/v1)^(1/3)-1].....(9)

즉 위의 부등식 (9)식에서 구한 t/D 값이 우측의 값보다 작으면 항상 Bulk Modulus로 구한 값 압력이 크다는 결론입니다.
(t의 절대값이 아니고 t의 D에대한 상대적인 값 t/D의 여하여 달려있다는 것을 알 수 있습니다.)