(1) 위치마다 온도차가 달라.
열교환기에서 열전달이 되는 속도는 온도차와 열전달 계수에 의해 정해지는데 고온유체와 저온유체의 유량이나 비열이 서로 다르기 때문에 입구와 출구에서의 온도차가 달라집니다. 그러기 때문에 열교환기이 튜브위치마다 온도차도 달리 나타납니다. 이로 인하여 열전달 속도도 위치마다 다르게 되지요. 이를 보정해 주기 위해서 대수평균 온도차 즉 Log Mean Temperature Difference (LMTD)를 사용하는 것입니다.
(2) 그럼 평균 온도차를 왜 LMTD를 사용해야 하나 그냥 평균온도차를 사용하면 안되나?
대수평균 온도차를 사용하게 되는 이유는 다음과 같습니다.
열교환기 내의 미분 면적에서의 미분 열전달속도 dQ = U ΔT dA ..............(1)
U도 위치마다 달라질 수 있지만 ΔT도 달라지기 때문에 상수가 아닙니다. 그러나 U는 크게 달라지지 않는 경우가 많습니다. 여기서는 상수라고 가정하지요. 만일 상수가 아니라면 다른 변수의 함수로 나타낼 수 있어야 합니다.
열교환기 전체전열 속도에 대한 온도차의 비 (즉 기울기)는 d(ΔT)/dQ = (ΔT2 - ΔT1)/Qtotal......(2)
앞선 (1)식에서의 dQ값을 (2)식에 대입하여 소거하면
결과식은 미분면적과 온도차와의 관계식입니다. 일차식도 아니고 이차식도 아니고 이런 괴상한 수식이 되었습니다. 즉 간단한 식으로 일정하게 변하지 않다는 이야기 입니다. 이 수식을 적분하면 로그값을 포함하는 수식이 나타납니다. U (ΔT2 - ΔT1) 이값이나 Qtotal 값은 정해진 값이라고 보면 됩니다. 입출구의 온도차는 에너지 수지에 의해 정해져 버리고 전체 열교환되는 양도 고온유체나 저온유체이 유량과 비열, 온도차가 정해지면 (즉 열교환기의 Duty가 정해지면) 다른값이될 수 없지요. 미묘한 차이를 나타낼지도 모르는 U는 상수로 가정하고 (부정)적분하면,
부정적분하다 보니 적분상수 C가 나타난 것인데 경계치를 넣어주면 ΔT와 A 간의 관계식이 얻어질 수 있겠지만 이 정보를 알아도 별 쓸모가 없습니다. 각 위치에서의 온도차를 알아 미분 전열량을 모두 더해서 어쩌구 저쩌구 하는 일은 컴퓨터가 알아서 해야 할 일이고 우리는 쉽게 총괄열전달계수와 전열면적을 구하면 그만입니다.
따라서 ΔT값을 열교환기 입구와 출구, 그리고 전열면적을 0~Atotal 까지 정적분을 하면 (4)식의 C는 없어집니다.
즉 ln (ΔT2/ΔT1) = U (ΔT2 - ΔT1)/Qtotal * Atotal.............(5)
수식이 복잡하니 우리가 익히 알고 있는 형태로 고치면
Qtotal = U A * ΔTaverage............................................(6)
