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스테파노 Stefano

08-04-09 00:19

압축성 유체에서 온도는 일정하고 압력만 변하는 경우 밀도는 압력에만 관계되기 때문에 이를
미분배관길이(dL)에 대한 베르뉴이의 에너지 방정식에 밀도대신 이상기체 수식을 대입하고 유속도 이 밀도변화를 고려하여 적분하면 됩니다. 수평배관이라고 하면 위치에너지 변화는 없습니다 (수평관이라고 가정하면 dZ=0).

이상기체 방정식: P*V = (W/M)*RT ===> W/V = MP/(RT) = ρ = 온도일정, 압력만의 함수..........(1)
베르뉴이 방정식: dP/ρ + d(u^2/2) + 4f (dL/D)u^2/2=0 미분길이에 대한 에너지 방정식...(2)

윗식(1)의 밀도를 (2)식에 대입하고 질량유량=밀도*부피유량=ρ*(u*A)= m = 상수(=여기서는 미지수) 의 관계로부터
ρ*u = m/A = G ...................(3) G=Mass Velocity, m=mass Rate, A=파이프단면적, 거리 L 위치 에서의 선속도

를 이용해서 유속도 밀도의 함수로 나타내도록 한 다음 정적분하면 됩니다. (2)식을 살펴보면 u가 제곱으로 되어 있으므로 (2)식에 ρ^2을 곱하여 정리하면 두번째 세번째 항이 간단해 집니다.

ρdP + ρ^2 * udu + {(4f/D) ρ^2 u^2/2} dL= 0 .......(4)

여기다 ρ= P*M/(RT), ρ*u = m/A = G, u=G/ρ, du=-(G/ρ^2)dρ 를 대입하고 식이 복잡하니까 M/RT = α (= 상수) 라고 두고 정리하면 (참고로 G는 문제에서 미지수이지만 상수이고 구하고자 하는 값입니다.)

α P dP + ρ^2(G/ρ)*(-G/ρ^2)dρ + {(4f/D) G^2/2} dL =0,
α P dP - G^2*dρ/ρ + {(4f/D) G^2/2} dL =0, .........(5) 또는 ρ대신 α*P, dρ= α*dP를 사용해서
α P dP - G^2*dP/P + {(4f/D) G^2/2} dL =0, .........(5a)

위의 (5a)식을 L=0 ~ ΔL, P=P1 ~P2 까지 적분하면 (단, f 와 D는 상수라고 가정)
α (P2^2-P1^2)/2 + G^2*ln (P1/P2) + {(4f/D) G^2/2} ΔL =0 P1>P2이므로 양변에(-1)을 곱해서

α (P1^2-P2^2)/2 + G^2*ln (P2/P1) = {(4f/D) G^2/2} ΔL ........(6) α=M/RT,
이 식(6)으로부터 G를 구하여 여기에 파이프 단면적을 구하면 Mass Rate가 구해집니다.

계산결과를 올려주세요. 수식이 틀리지 않았나 조사해 보려고 합니다.

압축성 유체에서 온도는 일정하고 압력만 변하는 경우 밀도는 압력에만 관계되기 때문에 이를 
미분배관길이(dL)에 대한 베르뉴이의 에너지 방정식에 밀도대신 이상기체 수식을 대입하고 유속도 이 밀도변화를 고려하여 적분하면 됩니다.  수평배관이라고 하면 위치에너지 변화는 없습니다 (수평관이라고 가정하면 dZ=0).

이상기체 방정식:  P*V = (W/M)*RT ===>  W/V =  MP/(RT) =  ρ = 온도일정, 압력만의 함수..........(1)
베르뉴이 방정식:  dP/ρ + d(u^2/2) + 4f (dL/D)u^2/2=0    미분길이에 대한 에너지 방정식...(2)

윗식(1)의 밀도를 (2)식에 대입하고  질량유량=밀도*부피유량=ρ*(u*A)= m = 상수(=여기서는 미지수) 의 관계로부터
   ρ*u = m/A = G ...................(3)   G=Mass Velocity, m=mass Rate, A=파이프단면적, 거리 L 위치 에서의 선속도

를 이용해서 유속도 밀도의 함수로 나타내도록 한 다음 정적분하면 됩니다.   (2)식을 살펴보면 u가 제곱으로 되어 있으므로 (2)식에 ρ^2을 곱하여 정리하면 두번째 세번째 항이 간단해 집니다.   
   
  ρdP  +  ρ^2 * udu + {(4f/D) ρ^2 u^2/2} dL= 0 .......(4)

여기다  ρ= P*M/(RT),    ρ*u = m/A = G,  u=G/ρ,  du=-(G/ρ^2)dρ 를 대입하고  식이 복잡하니까 M/RT = α (= 상수) 라고 두고  정리하면  (참고로 G는 문제에서 미지수이지만 상수이고 구하고자 하는 값입니다.)

α P dP  +  ρ^2(G/ρ)*(-G/ρ^2)dρ + {(4f/D) G^2/2} dL =0,   
  α P dP  -  G^2*dρ/ρ + {(4f/D) G^2/2} dL =0,  .........(5)  또는 ρ대신 α*P,  dρ= α*dP를 사용해서
  α P dP  -  G^2*dP/P + {(4f/D) G^2/2} dL =0,  .........(5a)

위의 (5a)식을  L=0 ~ ΔL,  P=P1 ~P2  까지 적분하면  (단, f 와 D는 상수라고 가정)
α (P2^2-P1^2)/2 + G^2*ln (P1/P2) + {(4f/D) G^2/2} ΔL =0    P1>P2이므로 양변에(-1)을 곱해서

α (P1^2-P2^2)/2 + G^2*ln (P2/P1) = {(4f/D) G^2/2} ΔL ........(6)  α=M/RT, 
이 식(6)으로부터  G를 구하여 여기에 파이프 단면적을 구하면 Mass Rate가 구해집니다.

계산결과를 올려주세요.  수식이 틀리지 않았나 조사해 보려고 합니다.

스테파노 Stefano

08-04-12 00:00

(1)오류 정정..
(dP/ρ)에다 ρ^2을 곱한 것이 ρ^2 dP로 쓰여 있었는데... 윗 글을 이미 고쳐놓았습니다.
(5)식과 (5a)식의 첫항은 따라서 ρ dP = α*P dP, 이 항만을 정적분하면 (α/2)*(P2^2-P1^2), 이의 부호를 바꿔(6)식이 얻어진 것입니다.

(2) 최대유량은 ??
질문의 요지..즉 최대유량을 구하는 방법이 언급되어 있지 않아서 추가 답글로 올립니다.
즉 (6)식은 말하자면 f, D, G,등이 일정하다고 가정하고 온도도 일정하게 유지된다고 할 때 배관에서의 길이과 압력손실과의 관계식이 됩니다.

G만이 미지수이고 모조리 알고 있는 값이라서 G를 구할 수 있습니다.

(3) 과연 f는 상수라고 가정할 수가 있는가??
위의 (2)식에 사용하는 f를 구할 때 압력에 따라 유속이 크게 변하고 이로인해 Reynolds가 크게 증가할지도 모른다는 생각이 듭니다. 그러나 단면이 일정하다면 Reynolds No.는 Re=DG/μ 로 속도에는 무관한 값이됩니다.

오히려 압력이 달라짐에 따라서 점도가 달라졌기 때문에 Reynolds No.가 달라지는 효과가 발생합니다. 기체의 점도는 온도가 오르면 분자운동이 빨라져서 증가합니다. 여기서는 온도가 일정하고 압력만 줄어들고 있기 때문에 분자간 거리가 멀어져 점도는 감소하게 됩니다.

위의 계산에서는 양 끝의 평균압력에서의 점도를 구해서 계산하면 되겠지만, 필자의 생각으로는 압력이 떨어져 점도가 줄어든다고 해도 Fiction Factor, f는 큰변화가 없을 것으로 봅니다.

만일 걱정이 된다면 실제로 압력에 따라 점도가 얼마큼 달라지며 이로 인해 f가 크게 차이가 난다면 전체길이를 몇 구간으로 나누어 압력손실을 구간별로 가정하고 다시 중간의 력을 알아내고...다시 전체의 압력손실이 맞는지 조사..등의 Trial-and-Error 방법이 사용되어야 합니다. 이런 계산은 컴퓨터에게 맡기지 않으면 풀어내기가 어렵습니다. 수렴조건은 전체의 압력손실에 의해 문제에서 주어진 출구 압력과 같아질 때를 찾는 것이고 이 때의 흐르는 유량이 구하는 값이 됩니다.

(1)오류 정정..
(dP/ρ)에다 ρ^2을 곱한 것이 ρ^2 dP로 쓰여 있었는데... 윗 글을 이미 고쳐놓았습니다.  
(5)식과 (5a)식의 첫항은 따라서  ρ dP = α*P dP,   이 항만을 정적분하면  (α/2)*(P2^2-P1^2), 이의 부호를 바꿔(6)식이 얻어진 것입니다.

(2) 최대유량은 ??
질문의 요지..즉 최대유량을 구하는 방법이 언급되어 있지 않아서 추가 답글로 올립니다. 
즉 (6)식은 말하자면  f, D, G,등이 일정하다고 가정하고 온도도 일정하게 유지된다고 할 때 배관에서의 길이과 압력손실과의 관계식이 됩니다.

G만이 미지수이고 모조리 알고 있는 값이라서 G를 구할 수 있습니다.

(3) 과연 f는 상수라고 가정할 수가 있는가??
위의 (2)식에 사용하는 f를 구할 때 압력에 따라 유속이 크게 변하고 이로인해 Reynolds가 크게 증가할지도 모른다는 생각이 듭니다.   그러나  단면이 일정하다면 Reynolds No.는  Re=DG/μ 로 속도에는 무관한 값이됩니다.

오히려 압력이 달라짐에 따라서 점도가 달라졌기 때문에 Reynolds No.가 달라지는 효과가 발생합니다.  기체의 점도는 온도가 오르면 분자운동이 빨라져서 증가합니다.  여기서는 온도가 일정하고 압력만 줄어들고 있기 때문에 분자간 거리가 멀어져 점도는 감소하게 됩니다.

위의 계산에서는 양 끝의 평균압력에서의 점도를 구해서 계산하면 되겠지만, 필자의 생각으로는 압력이 떨어져 점도가 줄어든다고 해도 Fiction Factor, f는 큰변화가 없을 것으로 봅니다.

만일 걱정이 된다면 실제로 압력에 따라 점도가 얼마큼 달라지며 이로 인해 f가 크게 차이가 난다면 전체길이를 몇 구간으로 나누어 압력손실을 구간별로 가정하고 다시 중간의 력을 알아내고...다시 전체의 압력손실이 맞는지 조사..등의 Trial-and-Error 방법이 사용되어야 합니다.  이런 계산은 컴퓨터에게 맡기지 않으면 풀어내기가 어렵습니다.   수렴조건은 전체의 압력손실에 의해 문제에서 주어진 출구 압력과 같아질 때를 찾는 것이고 이 때의 흐르는 유량이 구하는 값이 됩니다.