(1) 부분분수의 계수 구하기
분모가 인수분해되어 있으면 부분분수의 합또는 차로 나타낼 수 있습니다. 쪼개놓은 식을 통분(분모를 같게)하여 분자가 원래의 수식과 같도록 하기 위한 상수를 구하면 되지요.
1/{(1-X)(M-2X)} = A/(1-x)-B/(M-2X)---------(1)
===>이를 통분하면 분자는 A(M-2X)-B(1-X) , 분모는{(1-X)(M-2X)}
윗식의 좌변의 분자에는 1이라는 숫자밖에 없고 X나 X2항이 들어있지 않다는 것을 이용해서 A, B를 구하면 됩니다.
위의 (1)식의 양변에 (1-X)(M-2X)를 곱하면 1 = A(M-2X) -B(1-x) =(AM-B) + (2AB+AMB)X - 2ABX^2 ...(2)
위 (2)식은 X에 관계없이 항상 수식을 만족해야 하는 합니다. (이를 "항등식"식이라고 하지요)
따라서 (AM-B)=1.......ⓐ, 2AB+AMB=0........ⓑ 2AB=0........ⓒ 세개의 방정식이 얻어지는데 이중 어느 2개만 가지 A,B를 구해낼 수 있습니다 ⓒ를 보면 A나 B중 어느 하나는 값이 0이됨을 알 수있습니다 이를 ⓑ에 대입하면 AMB=0...ⓓ
ⓓ식으로부터 AM=0/B 따라서ⓐ식은 AM=1-B = 0 이로부터 B=1, A=0가 구해집니다.
(2) 미분방정식 A dX/dt = K (1-X) (B-X) (C-X)의 풀이 여기서 A=Cao, K=kCao^3, B=Cbo.Ca0, C=Cdo/Ca0임
A dX/dt = K (1-X) (B-X) (C-X) ==> (K/A)dt = dX/{(1-X)*(B-X)*(C-X)} ...............(3)
이 미분방정식은 변수분리형이고 분모가 여러 인수로 되어 있는 것을 부분 분수로 쪼개서 적분하면 됨
우변의 분수를 아래와 같이 부분분수의 합으로 나누어 보면
1/(1-X)(B-X)(C-X)=P/(1-X)+Q/(B-X)+R/(C-X) ...........(4)
이 식은 항등식으로 항상 만족해야 하므로이 관계식으로부터 P,Q,R을 구하여 (3)식에 넣고 적분하변 됩니다.
위의 (4)식의 양변에 (1-X)(B-X)(C-X)을 곱하면
1= P(B-X)(C-X)+Q(1-X)(C-X)+R(1-X)(B-X)................(5) 이 식도 항등식(X에 관계없이 항상 등식성립)
따라서 이로부터 P, Q, R을 구하면 됩니다 . A, B,C는 변수가 아닌 상수입니다. 따라서 P,Q,R을 A,B,C로 나타내면 됩니다. 상수항은 1이고 X나 X^2항의 계수는 모두 0이 되어야 (5)식이 성립합니다 . 그러므로
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