게시판 > 질답게시판 > band gap energy 를 구하는 문제입니다....

스테파노 Stefano

08-10-16 23:56

(0) 필자의 전문 분야가 아니라서 답변을 잘 드릴 수가 없습니다. 아래의 답변은 하나의 소설로 봐 주세요.

(1) Band gap은 원자내 전자들이 존재할 확률이 낮은 영역에 전자들이 발견될 확률이 급격히 늘어나도록 하기 위해 필요한 에너지를 의미하는 것으로 봅니다.

이영역에서 온도에 따른 전자발견확률을 알 수 있어야 하고
확률로부터 band gap 에너지로 환산할 수 있는 수식이 있어야 할 것 같습니다.

아래의 자료는 http://en.wikipedia.org/wiki/Band_gap 에서 인용한 것인데 이를 참고하면 어쩌면 구할 수도 있을 것으로 봅니다.

(Quote/)

Classically, the ratio of probabilities that two states with an energy difference ΔE will be occupied by an electron is given by the Boltzmann factor:

e^(-ΔE/kT)

where:
e is the exponential function
ΔE is the energy difference
k is Boltzmann's constant
T is temperature

At the Fermi level (or chemical potential), the probability of a state being occupied is ½. If the Fermi level is in the middle of a band gap of 1 eV, this ratio is e -20 or about 2.0•10-9 at the room-temperature thermal energy of 25.9 meV.

(/Unquote)

위의 인용한 분의 내용은 온도 T1, T2 에서 전자가 발견될 확률은 아래의 수식과 같다는 것을 언급하는 것 같습니다.

p1 = e^(-ΔE/k/T1) ......(1)
p2 = e^(-ΔE/k/T2) ......(2)

위에서 (2)식/(1)식을 한다음 양변 자연대수를 취하면 ==>

ln (p2/p1) = (-ΔE) {1/(kT2) - 1/(kT1)}
==> ΔE = -k (ln p2/p1) / (1/T2-1/T1) = -k (ln p2-ln p1)/(1/T2 -1/T1) = - k Δln p / Δ(1/T)...........(3)

여기서 (ln p2-ln p1) = Δ ln p 이고, (1/T2 -1/T1) = Δ(1/T) 이므로

따라서 ΔE = - k Δ ln p / Δ(1/T)................................................................................................(4)

(4)식과 인용한 수식이 정확히 2배 차이가 나는데...

확률의 비가 갑자기 제곱비로 나타나는 이유가 뭔지 모르겠습니다.

어쨌거나 위의 (4)식 혹은 이와 유사한 수식을 이용해서 확률의 차와 온도의 역수의 차 그리고 볼츠만상수로부터 Band Gap을 구한다는 이야긴데..

그렇다면 T와 p의 관계를 나타내는 관계식 혹은 도표를 가지고 있어야 계산이 가능할 것입니다.

(2) 이런 문제는 아마도 반도체 공학에서 아주 흔한 문제로 보입니다.
이곳: http://mybox.happycampus.com/arti581/111100... 의 자료에도 풀이방법이 있을 듯 합니다.

(3) Conductivity의 경우에도 온도별 Band Gap 에너지의 차 혹은 전자발견 확률함수로부터 전도도를 구하는 관계식이 있을 법합니다.

자세한 답변을 드리지 못해 죄송합니다.

(0) 필자의 전문 분야가 아니라서 답변을 잘 드릴 수가 없습니다.  아래의 답변은 하나의 소설로 봐 주세요.

(1) Band gap은 원자내 전자들이 존재할 확률이 낮은 영역에 전자들이 발견될 확률이 급격히 늘어나도록 하기 위해 필요한 에너지를 의미하는 것으로 봅니다.

이영역에서 온도에 따른 전자발견확률을 알 수 있어야 하고
확률로부터 band gap 에너지로 환산할 수 있는 수식이 있어야 할 것 같습니다.

아래의 자료는 http://en.wikipedia.org/wiki/Band_gap 에서 인용한 것인데 이를 참고하면 어쩌면 구할 수도 있을 것으로 봅니다.

(Quote/)

Classically, the ratio of probabilities that two states with an energy difference ΔE will be occupied by an electron is given by the Boltzmann factor:

e^(-ΔE/kT)

where:
  e  is the exponential function 
  ΔE is the energy difference 
  k is Boltzmann's constant 
  T is temperature

At the Fermi level (or chemical potential), the probability of a state being occupied is ½. If the Fermi level is in the middle of a band gap of 1 eV, this ratio is e -20 or about 2.0•10-9 at the room-temperature thermal energy of 25.9 meV.

(/Unquote)

위의 인용한 분의 내용은 온도 T1, T2 에서 전자가 발견될 확률은 아래의 수식과 같다는 것을 언급하는 것 같습니다.

p1 = e^(-ΔE/k/T1)  ......(1)
p2 = e^(-ΔE/k/T2)  ......(2)

위에서 (2)식/(1)식을 한다음 양변 자연대수를 취하면 ==>

ln (p2/p1) = (-ΔE) {1/(kT2) - 1/(kT1)} 
     ==>  ΔE = -k (ln p2/p1) / (1/T2-1/T1) = -k  (ln p2-ln p1)/(1/T2 -1/T1) = - k  Δln p / Δ(1/T)...........(3)

여기서 (ln p2-ln p1) = Δ ln p 이고,   (1/T2 -1/T1) = Δ(1/T) 이므로

따라서  ΔE = - k  Δ ln p / Δ(1/T)................................................................................................(4)

(4)식과 인용한 수식이 정확히 2배 차이가 나는데...

확률의 비가 갑자기 제곱비로 나타나는 이유가 뭔지 모르겠습니다.

어쨌거나 위의 (4)식 혹은 이와 유사한 수식을 이용해서 확률의 차와 온도의 역수의 차 그리고 볼츠만상수로부터 Band Gap을 구한다는 이야긴데..

그렇다면   T와  p의 관계를 나타내는 관계식 혹은 도표를 가지고 있어야 계산이 가능할 것입니다.

(2)  이런 문제는 아마도 반도체 공학에서 아주 흔한 문제로 보입니다.   
이곳: http://mybox.happycampus.com/arti581/111100...  의 자료에도 풀이방법이 있을 듯 합니다.

(3) Conductivity의 경우에도 온도별 Band Gap 에너지의 차 혹은 전자발견 확률함수로부터 전도도를 구하는 관계식이 있을 법합니다.

자세한 답변을 드리지 못해 죄송합니다.

지민공주 tist

08-10-17 00:47

Stefano 님 늘 허접스런 질문에 정성스럽게 답변해주셔서 정말 고맙습니다~^^

지민공주 tist

08-10-17 00:57

확률의 비가 갑자기 제곱비로 나타나는 이유도 저는 잘 모르겠네요...^^;;

제가 알 수 있는 정보는 charge carrier 의 농도 n , p 가 exp(-Eg/2kT) 에 비례한다이구 로그를 취하면

ln n or ln p = (-Eg/2kT) 가 되어서 Eg 에 관해서 정리하면...위에 있는 인용식이 나오더군요...

그냥 비례한다고만고만 알았지 자세한 유도과정은 잘 몰라서...^^;;; 유도과정까지 적어주셔서

감사합니다. 참고할게요~^^

스테파노 Stefano

08-10-21 00:29

첫 질문에서 인용한 수식이 맞다면 제가 첫 답글에서 인용했던 영문 원문에 들어있던 수식이 틀려있는 것 같습니다.
따라서

p = A e^(-ΔE/kT) 가 아니고
p = A {e^(-ΔE/kT)}^(1/2) 즉 p = A {e^(-ΔE/2kT)} 가 되어야 할 것 같습니다.