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Stefano

15-11-28 22:07

(1) 유입류량과 유출유량이 다른 경우라면 탱크내 물의 질량 M이 시간의 함수로 되어 있기 때문에 M을 시간의 함수로 나타내도록 해야 합니다. M을 구하려면 물질수지로부터 구하면 되고 탱크의 온도는 열수지로부터 계산하면 됩니다.
(온도도 C, 비열도 Cp 라서 온도는 t, 시간은 Θ로 변경하여 나타냈습니다.

물질수지: dM =(mi-mo) dΘ..........(1) ---> M = Mo +(mi-mo) Θ ----(2), Mo = 초기( 시간 Θ=0 )일때의 질량
열수지: mi*Cp*ti dΘ - mo*Cp*t*dΘ = M*Cp*dt...........................(3)

(2)위의 (3)식은 혼합된 후의 온도 t가 균일한 상태로 배출된다고 가정한 수식입니다.

(3)위의 (2)식의 M을 (3)식에 대입하여 소거한 다음 Θ=0~ Θ, t = to~ t까지 적분하면 됩니다.

kipa

15-11-29 01:28

감사합니다.
온도와 시간으로 변리 분리 하면
dΘ/Θ(mi-mo) = Mo/(mi*ti-mo*t) + dt/(mi*ti-mo*t)
부정적분
1/(mi-mo)*logΘ = Mo/(mi*ti-mo*t) + 1/mo*log(mi*ti-mo*t)
매우 복잡해졌읍니다. 온도 t에 대해서 정리 부탁 합니다.

스테파노 Stefano

15-11-29 22:58

(2)식의 M을 (3)식에 대입 하면 (mi*ti-mo*t) dΘ = {Mo+(mi-mo)Θ} dt
---> dt/(mi*ti-mo*t) = dΘ/{Mo+(mi-mo)Θ} ........(4)
이식은 변수분리형이라 쉽게 적분가능하지요. 적분결과를 올려두세요.

kipa

15-11-30 00:30

적분은 가능한데
-1/mo*ln(mi*ti-mo*t)+c1 = 1/(mi-mo)*ln[Mo+(mi-mo)Θ]+c2
시간 Θ에 대해서 정리가....ㅠㅠ

스테파노 Stefano

15-11-30 17:08

(1) 위 답글에 있는 (4)식의 양변을 Θ=0~Θ t=to~t까지 정적분하면 c1,c2가 필요하지 않으며 Θ와 t간의 관계식이 얻어지고 초기의 경계조건에 의해 상수가 자연히 계산됩니다.

(Θ=0~Θ까지 적분}∫dΘ/{Mo+(mi-mo)Θ} =(t=to~t까지 적분)∫dt/(mi*ti-mo*t) ...(4a)

1/(mi-mo)*{[ln (Mo+(mi-mo)Θ]-ln Mo}= (1/mo)*{[ln(mi*ti-mo*to)-ln(mi*ti-mo*t)}.......(5)
ln [(mi*ti-mo*to)/(mi*ti-mo*t) = [mo/(mi-mo)]*ln{[Mo+(mi-mo)Θ]/Mo}......................(5a)
ln [(mi*ti-mo*t)/(mi*ti-mo*to)] = [mo/(mi-mo)]*ln{[Mo/[Mo+(mi-mo)Θ]}...................(5b)

(mi*ti-mo*t)/(mi*ti-mo*to) = [Mo/[Mo+(mi-mo)Θ]^[mo/(mi-mo)]...............................(6)
(mi*ti-mo*t) = (mi*ti-mo*to)*[Mo/[Mo+(mi-mo)Θ]^[mo/(mi-mo)]............................(6a)
mo*t = (mi*ti)-(mi*ti-mo*to)*[Mo/[Mo+(mi-mo)Θ]^[mo/(mi-mo)]............................(6b)

t= (1/mo)*{(mi*ti)-(mi*ti-mo*to)*[Mo/[Mo+(mi-mo)Θ]^[mo/(mi-mo)]}.....................(7)

(2) 위의 (7)식이 t와 Θ와의 관계식이 됩니다.
Θ=0 이면 t = to입니다. mi=mo일 경우에는 (3)식에서 M을 상수로 놓고 유도되는 다른 식이 적용되어야 할 것입니다.

kipa

15-12-05 00:48

유입량 온도 24도, 탱크 내부 온도 23도
10분 후 출구 온도 21.7도
어딘가 잘못된것 같은데, 찾지를 못하네요...
간만에 적분 공부 했읍니다. 감사합니다.

스테파노 Stefano

15-12-07 10:03

수식계산에서는 틀림이 없고, 아마 (3)식에서 사용한 가정에서 비롯된 것으로 추정하나 마땅한 방법이 떠오르지 않지만 적당한 다른 해결책이 없다면.. 시간을 일정간격으로 미분해서 수치해석 방법으로 풀어내는 방법을 고려해야 할 것 같습니다.