게시판 > 질답게시판 > [수치해석]에서 chain rule 관련 문제입니다.

스테파노 Stefano

08-12-08 23:56

Chain Rule이라는 것이 여러가지가 있겠지만 여기서는 dy/dx=dy/df*df/dg*dg/dh*..........*dk/dx 의 형식으로 계산해 보라는 것 같습니다.

z=xy^2에서 dz/dx 혹은 dz/dy를 구한 다음 나타나는 dy/dx나 dx/dy를 순차적으로 소거하면 될 것입니다.
z=xy^2 ==> (dz/dx) = y^2+2xy(dy/dx)....(1)
y=rsin Θ ==> (dy/dr) =sinΘ+rcosΘ(dΘ/dr)..(2)
x=rcos Θ ==> (dx/dr) =cosΘ-rsinΘ(dΘ/dr)...(3)

Θ=t^2 ==> dΘ/dt =2t...........................(4)
r=e^-t ==> dr/dt = -e^-t.......................(5)
(dΘ/dr)=(dΘ/dt)/(dr/dt)= -2te^t...............(6)

(dz/dt) = (dz/dx)*(dx/dr)*(dr/dΘ)*(dΘ/dt)...(7)

위의 (7)식에서 (dz/dx)는 (1)식을 이용하면되고 (1)식에 있는 (dy/dx)는 (2),(3)식으로부터 (dy/dx)=(dy/dr)/(dx/dr)로 구하면 될것이고 여기서 남아있는 (dΘ/dr)는 r,Θ,t의 관계식에서 구해서 치환해주면 되고... ~하면되고 ...~하면되고..

(7)식은 ==>(1)식*(3)식*{1/(6)식}*(4)식

그 다음은 질문자가 풀어올려놓으세요. 힌트는 너무 많이 나왔습니다.

2번 문제도 서로서로 돌고 돌지만 위와 비슷한 방법을 찾으면 될 것입니다. 직접풀어보고 풀어지지 않으면 다시질문해 주세요.

karls skdcjss

08-12-09 18:32

답변 감사합니다.

그전에 f(x,y) = x^2 + y^2 where y = sin^2 x 이문제 체인룰로 어떻게 풀죠?

노트 필기보면 2x + 2sinxcosx 라고 답을 써놨는데 아무리 풀어봐도 저렇게는 안나오는데,

일단 f(x,y)를 편미분 했습니다. 2x + 2y 그리고 y 미분한거 2sinxcosx 대입하면 2x + 4sinxcosx 나오는데

제가 잘못푼건지요?

그런데 y = sinx로 놓고 풀면 노트 필기 답이 나오더라구요.

위의 문제 풀어봤는데 답이 맞나 한번 봐주세요.

z = xy^2 ---> dz/dx = y^2 + 2xy*dy/dx
x = rcosΘ ---> cosΘ - rsinΘ*dΘ/dr
y = rsinΘ ---> sinΘ + rcosΘ*dΘ/dr
dr/dt = -e^-t dΘ/dt = 2t 이것들을 각가 대입하니

dz/dt = y^2 +2xy(sinΘ+rcosΘ(-2te^t)/cosΘ -rsinΘ(-2te^t))*-e^-t <<< 1번

z = xy^2 ---> dz/dx = y^2 + 2xy*dy/dx
y = sinx ---> dy/dx = cosx
x = re^t ----> dx/dr = e^t (d 는 편미분 입니다.) dx/dt = re^t (이것도 편미분) 대입하면

dz/dr = 2xycosx +( y^2) * e^t
dz/dt = 2xycosx + (y^2)*re^t

일단 이렇게 풀었는데 맞는지요?

그리고 한가지만 더질문하면, dy/dx = 2x - y^2 이 미분 방정식에서 y = yh + yp 이렇게 나눠서 푸는걸 교수님이 알려

주셨는데 일단 dy/dx + y^2 = 2x 라고 이항한후에 dy/dx + y^2 = 0으로 놓고 yh 구하고 2x 에서 yp = ax + b이렇게

해서 두 값을 더해서 y를 구하는 법이었는데 yh 구할때 dt/dx + y = 0에서는 (람다 + 1) = 0 이렇게 해서 람다가 -1이

므로 yh = C*e^-x 를 구할수 있었는데 y가 제곱이라서 어떻게 해야할지 모르겠네요.

글이 많이 길어졌는데 답변좀 부탁드립니다.

답변 감사합니다.

그전에 f(x,y) = x^2 + y^2  where y = sin^2 x  이문제 체인룰로 어떻게 풀죠?

노트 필기보면 2x + 2sinxcosx 라고 답을 써놨는데 아무리 풀어봐도 저렇게는 안나오는데,

일단 f(x,y)를 편미분 했습니다. 2x + 2y 그리고 y 미분한거 2sinxcosx 대입하면 2x + 4sinxcosx 나오는데

제가 잘못푼건지요?

그런데 y = sinx로 놓고 풀면 노트 필기 답이 나오더라구요.

위의 문제 풀어봤는데 답이 맞나 한번 봐주세요.

z = xy^2 ---> dz/dx  = y^2 + 2xy*dy/dx
x = rcosΘ ---> cosΘ - rsinΘ*dΘ/dr
y = rsinΘ ---> sinΘ  + rcosΘ*dΘ/dr
dr/dt = -e^-t  dΘ/dt = 2t   이것들을 각가 대입하니

dz/dt = y^2 +2xy(sinΘ+rcosΘ(-2te^t)/cosΘ -rsinΘ(-2te^t))*-e^-t   <<< 1번

z = xy^2 ---> dz/dx  = y^2 + 2xy*dy/dx
y = sinx --->    dy/dx = cosx
x = re^t  ----> dx/dr = e^t  (d 는 편미분 입니다.) dx/dt = re^t (이것도 편미분) 대입하면

dz/dr  = 2xycosx +( y^2) * e^t
dz/dt = 2xycosx + (y^2)*re^t

일단 이렇게 풀었는데 맞는지요?

그리고 한가지만 더질문하면, dy/dx = 2x - y^2 이 미분 방정식에서 y = yh + yp 이렇게 나눠서 푸는걸 교수님이 알려

주셨는데 일단 dy/dx + y^2 = 2x 라고 이항한후에 dy/dx + y^2 = 0으로 놓고 yh 구하고 2x 에서 yp = ax + b이렇게

해서 두 값을 더해서 y를 구하는 법이었는데 yh 구할때 dt/dx + y = 0에서는 (람다 + 1) = 0 이렇게 해서 람다가 -1이

므로  yh = C*e^-x 를 구할수 있었는데  y가 제곱이라서 어떻게 해야할지 모르겠네요.

글이 많이 길어졌는데 답변좀 부탁드립니다.

스테파노 Stefano

08-12-09 23:51

Q1. f(x,y) = x^2 + y^2 where y = sin^2 x 이문제 체인룰로 어떻게 풀죠?
A1. 위 한줄로는 문제가 성립하지 않습니다. 무엇을 구하려는지 문제를 정확히 이해해야 풀수 있는 실마리를 찾을 수 있습니다.

x = rcosΘ ---> cosΘ - rsinΘ*dΘ/dr <--------우측에 적은 수식은 수식이 아닙니다. 등호"="를 사용해야하지요.
y = rsinΘ ---> sinΘ + rcosΘ*dΘ/dr <--------우측에 적은 수식은 수식이 아닙니다. 등호"="를 사용해야하지요.

이미 앞선 글에서 힌트대로...

f(x,y) = x^2 + y^2 ....(1) ==> df(x,y)/dx =2x + 2y*(dy/dx)........(2)
where y = sin^2 x ....(3) ==> dy/dx=2sinx*cosx ......................(4)

따라서 df(x,y)/dx=2x+2y(2sinx*cosx) = 2x + 4y sinx*cos x = 2x + 4sin^3x*cosx .....Ans.

Q2. 일단 f(x,y)를 편미분 했습니다. 2x + 2y 그리고 y 미분한거 2sinxcosx 대입하면 2x + 4sinxcosx 나오는데
A2. f(x,y)를 편미분해서 2x + 2y가 되지 않습니다.

f(x,y) = x^2 + y^2 ..........................(5)
==> ∂f(x,y)/∂x =2x ..........................(6)
==>∂f(x,y)/∂y =2y =2sin^2x..............(7)
where y = sin^2 x ....(8) ==> ∂y/∂x=2sinx*cosx ......................(9)
....
구하려는 것이 무엇인지 정확히 정의해 보고 해를 찾으세요.

Q3. dz/dt = y^2 +2xy(sinΘ+rcosΘ(-2te^t)/cosΘ -rsinΘ(-2te^t))*-e^-t <<< 1번
A3. 앞서 힌트를 드린대로

(dz/dx) = y^2+2xy(dy/dx)....(1)
=y^2+ 2xy*[(dy/dr)/(dx/dr)]
=y^2+ 2xy*[(sinΘ+rcosΘ(dΘ/dr)]/[cosΘ-rsinΘ(dΘ/dr)] .............여기에 (3)식의 dΘ/dr값을 대입
=y^2+ 2xy*[(sinΘ+rcosΘ(-2te^t)]/[cosΘ-rsinΘ(-2te^t)].............................................Ans.

Q4. dz/dr = 2xycosx +( y^2) * e^t dz/dt = 2xycosx + (y^2)*re^t 일단 이렇게 풀었는데 맞는지요?
A4. 맞는 것 같습니다.
편미분기호는 한글로 "ㄷ"을 쳐넣고 "한자"키를 눌러 나타나는 문자를 화살표나 마우스로 선택해서 입력할 수 있지요.

Q5. dy/dx = 2x - y^2 이 미분 방정식에서 y = yh + yp 이렇게 나눠서 푸는걸 교수님이 알려
주셨는데 일단 dy/dx + y^2 = 2x 라고 이항한후에 dy/dx + y^2 = 0으로 놓고 yh 구하고 2x 에서 yp = ax + b이렇게
해서 두 값을 더해서 y를 구하는 법이었는데 yh 구할때 dt/dx + y = 0에서는 (람다 + 1) = 0 이렇게 해서 람다가 -1이
므로 yh = C*e^-x 를 구할수 있었는데 y가 제곱이라서 어떻게 해야할지 모르겠네요.

A5. 교수님이 설명하실 때 모르는 것을 지나치지 말고 그자리에서 질문해서 의문을 해소하도록 하세요.
"dy/dx + y^2 = 2x 라고 이항한후에 dy/dx + y^2 = 0으로 놓고 yh 구하고" 이말은 미분방정식을 표준형으로 고쳐놓고 풀어라는 이야기였습니다. y' + f(y) = f(x) 형의 미분방정식 푸는 방법을 이미 배운 교재에서 찾아보도록 하세요.

Q1.  f(x,y) = x^2 + y^2  where y = sin^2 x  이문제 체인룰로 어떻게 풀죠? 
A1.  위 한줄로는 문제가 성립하지 않습니다.  무엇을 구하려는지  문제를 정확히 이해해야 풀수 있는 실마리를 찾을 수 있습니다.

x = rcosΘ ---> cosΘ - rsinΘ*dΘ/dr <--------우측에 적은 수식은 수식이 아닙니다.  등호"="를 사용해야하지요.
y = rsinΘ ---> sinΘ  + rcosΘ*dΘ/dr <--------우측에 적은 수식은 수식이 아닙니다.  등호"="를 사용해야하지요.

이미 앞선 글에서 힌트대로...

f(x,y) = x^2 + y^2  ....(1) ==> df(x,y)/dx =2x + 2y*(dy/dx)........(2)
where y = sin^2 x   ....(3) ==> dy/dx=2sinx*cosx ......................(4)

따라서 df(x,y)/dx=2x+2y(2sinx*cosx) = 2x + 4y sinx*cos x = 2x + 4sin^3x*cosx .....Ans.

Q2. 일단 f(x,y)를 편미분 했습니다. 2x + 2y 그리고 y 미분한거 2sinxcosx 대입하면 2x + 4sinxcosx 나오는데 
A2. f(x,y)를 편미분해서 2x + 2y가 되지 않습니다.

f(x,y) = x^2 + y^2  ..........................(5) 
==> ∂f(x,y)/∂x =2x ..........................(6)   
==>∂f(x,y)/∂y =2y =2sin^2x..............(7)
where y = sin^2 x   ....(8) ==> ∂y/∂x=2sinx*cosx ......................(9)
....
구하려는 것이 무엇인지 정확히 정의해 보고 해를 찾으세요.

Q3.  dz/dt = y^2 +2xy(sinΘ+rcosΘ(-2te^t)/cosΘ -rsinΘ(-2te^t))*-e^-t  <<< 1번 
A3.  앞서 힌트를 드린대로

(dz/dx) = y^2+2xy(dy/dx)....(1)    
=y^2+ 2xy*[(dy/dr)/(dx/dr)]  
=y^2+ 2xy*[(sinΘ+rcosΘ(dΘ/dr)]/[cosΘ-rsinΘ(dΘ/dr)]  .............여기에 (3)식의 dΘ/dr값을 대입
=y^2+ 2xy*[(sinΘ+rcosΘ(-2te^t)]/[cosΘ-rsinΘ(-2te^t)].............................................Ans.  
 
Q4.  dz/dr  = 2xycosx +( y^2) * e^t  dz/dt = 2xycosx + (y^2)*re^t  일단 이렇게 풀었는데 맞는지요? 
A4.  맞는 것 같습니다.  
편미분기호는 한글로 "ㄷ"을 쳐넣고 "한자"키를 눌러 나타나는 문자를 화살표나 마우스로 선택해서 입력할 수 있지요.

Q5. dy/dx = 2x - y^2 이 미분 방정식에서 y = yh + yp 이렇게 나눠서 푸는걸 교수님이 알려
주셨는데 일단 dy/dx + y^2 = 2x 라고 이항한후에 dy/dx + y^2 = 0으로 놓고 yh 구하고 2x 에서 yp = ax + b이렇게 
해서 두 값을 더해서 y를 구하는 법이었는데 yh 구할때 dt/dx + y = 0에서는 (람다 + 1) = 0 이렇게 해서 람다가 -1이 
므로  yh = C*e^-x 를 구할수 있었는데  y가 제곱이라서 어떻게 해야할지 모르겠네요.

A5. 교수님이 설명하실 때 모르는 것을 지나치지 말고 그자리에서 질문해서 의문을 해소하도록 하세요.   
"dy/dx + y^2 = 2x 라고 이항한후에 dy/dx + y^2 = 0으로 놓고 yh 구하고"  이말은 미분방정식을 표준형으로 고쳐놓고 풀어라는 이야기였습니다.   y' + f(y) = f(x) 형의 미분방정식 푸는 방법을 이미 배운 교재에서 찾아보도록 하세요.